Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort

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Zweidimensionale Impulsantwort

Es soll die zweidimensionale Impulsantwort

$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)$$

gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden. Die beiden Achsen sind zeitdiskret:

• $\tau$ kennzeichnet die Verzögerungszeit und kann im Beispiel Werte zwischen $0$ und $6 \ {\rm \mu s}$ annehmen.
• Die absolute Zeit $t$ macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt $t = n \cdot T$, wobei $T >> \tau_{\rm max}$ gelten soll.

Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten $1$ (rot), $1/2$ (blau) und $1/4$ (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit $\tau$ zeitdiskret ist.

Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten $t$ im Sekundenabstand betrug die Auflösung der $\tau$–Achse $2$ Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm \mu s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.

Weiter wird in dieser Aufgabe noch auf folgende Größen Bezug genommen:

• die zeitvariante Übertragungsfunktion entsprechend der Definition

$$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm},$$

• die Näherung der Kohärenzbandbreite als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$:

$$B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
• Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell, insbesondere in der Musterlösung zur Aufgabe Aufgabe Z2.7.
• Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D–Impulsantwort während der Zeitspanne $T$ gravierend. Deshalb ist $T$ hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde. Im Mobilfunk ändert sich $h(\tau, t)$ unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.

Fragebogen

1

Welche Einschränkung bedeutet „$\Delta \tau = 2 \rm \mu s$” für die maximale Bandbreite $B_{\rm max}$ des zu untersuchenden Nachrichtensignals?

$B_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Zu welcher Zeit $t_b$ ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch $H(f, t_{\rm b}) = 1$?

$t_{\rm b} \ = \ $ $\ \cdot T$

3

Ab welcher Zeit $t_{\rm c}$ führt dieser Kanal zu Verzerrungen?

$t_{\rm c} \ = \ $ $\ \cdot T$

4

Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für $t = 3T$, $t = 4T$ und $t = 5T$:

$t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

$t = 4T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

$t = 5T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

5

Ab welcher Zeit $t_{\rm e}$ könnte man diesen Kanal als zeitinvariant betrachten?

$t_{\rm e} \ = \ $ $\ \cdot T$

6

Für welchen $T$–Wert macht das Arbeiten mit der $2D$–Impulsantwort Sinn?

	Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach $T = 1 \ \rm \mu s$.
	Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach $T = 1 \ \rm s$.

Musterlösung

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