Aufgabe 2.7: Kohärenzbandbreite

Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum und Frequenzkorrelationsfunktion

Für das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz. Mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ gilt:

$$\frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm exp}\left ( -\tau / \tau_0 \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante $\tau_0$ lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt $\tau = 0$ ermitteln. Beachten Sie, dass ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist. Weiter gilt:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ hat gleiche Form wie ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche 1 normiert.
Die mittlere Verzögerungszeit (engl. Average Excess Delay) $m_{\rm V}$ ist gleich dem linearen Erwartungswert $E[\tau]$ und lässt sich aus der WDF $f_{\rm V}(\tau)$ bestimmen.
Die Mehrwegeverbreiterung (engl. Multipath Spread) $\sigma_{\rm V}$ gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße $\tau$ an. Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung $T_{\rm V}$.
Die dargestellte Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ berechnet werden:

$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$

Die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ ist der $\Delta f$–Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ auf den halben Betrag abgefallen ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Das GWSSUS–Kanalmodell
Benötigt werden Kenntnisse zur Momentenberechnung von Zufallsgrößen aus dem Buch „Stochastische Signaltheorie”.
Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} {\rm exp}(- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t)\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t \ge 0 \\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array} \hspace{0.4cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

	$f_{\rm V}(\tau) = \exp {(–\tau/\tau_0)}$.
	$f_{\rm V}(\tau) = 1/\tau_0 \cdot \exp {(–\tau/\tau_0)$,
	$f_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_0 \cdot \exp {(–\tau/\tau_0)}$.

$m_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm \mu s$

$\sigma_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm \mu s$

	correct
	false

$xyz \ = \ $

$ab$

Musterlösung

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