Aufgabe 3.4Z: Äquivalente Faltungscodes?

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Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der durch folgende Gleichungen beschrieben wird:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)}\hspace{0.05cm}.$$

Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen

• $\mathbf{G}(D)$ dieses nichtsystematischen Codes, und
• $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ des äquivalenten systematischen Codes.

Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ erhält man in folgender Weise:

• Man spaltet von der $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$ vorne eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit jeweils $k$ Zahlen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit $\mathbf{Q}(D)$.
• Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{–1}(D)$ und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$

• Da $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. \hspace{0.05cm}$$

Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern $k$ und $n$. In der Teilaufgabe (5) ist zu klären, ob es sich dabei tatsächlich um den äquivalenten systematischen Code handelt. Das heißt, ob sich tatsächlich für die beiden Schaltungen genau die gleiche $\{ \ \underline{x} \ \}$ an Codesequenzen ergibt, wenn man alle möglichen Informationssequenzen $\{ \ \underline{u} \ \}$ berücksichtigt.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf ein Themengebiet aus dem Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lauten die Parameter des oben dargestellten Codierers?

$k \ = \ $

$n \ = \ $

$R \ = \ $

$m \ = \ $

$ν \ = \ $

2

Welche Form hat die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?

	Die erste Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(1 + D, \, 0, \, 0)$.
	Die erste Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(1 + D^2, \, 0, \, D^2)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(D, \, 1 + D, \, 1)$.
	Die dritte Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(D, \, 1 + D, \, 1)$.

3

Geben Sie $\mathbf{T}(D)$ und $\mathbf{T}^{–1}(D)$ an. Wie lautet die Determinante?

	$\det {\mathbf{T}(D)} = 1$,
	$\det {\mathbf{T}(D)} = D$,
	$\det {\mathbf{T}(D)} = 1 + D^2$.

4

Was gilt für die äquivalente systematische Übertragungsfunktionsmatrix?

	Die erste Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(1, \, 0, \, 0)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(0, \, 1, \, 1 + D)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(0, \, 1, \, 1/(1 + D))$.

5

Sind die beiden vorgegebenen Schaltungen tatsächlich äquivalent?

	JA.
	NEIN.

Musterlösung

Musterlösung

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