Aufgabe 5.8Z: Verfälschung von BMP-Bildern

Verfälschte BMP–Dateien

Wir gehen hier von den folgenden Bildern im Format 160x120 aus:

dem Bild „Weiß” mit der Farbtiefe 1 BPP (ein Bit per Pixel) und
dem Bild „Erde” mit 24 BPP, auch wenn hier nur wenige der $2^{24}$ möglichen Farben genutzt werden.

Das Bild „W1” ist durch Verfälschung mit einem Gilbert–Elliott–Modell unter Verwendung folgender Parameter entstanden:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$

$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$

und für die Fehlerkorrelationsdauer

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \approx 8 \hspace{0.05cm}.$$

Das Bild „W2” entstand nach Verfälschung mit den GE–Parametern

$$p_{\rm B} = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B})= 0.01, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.0005\hspace{0.05cm}.$$

Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „$\rm G$” wurde so gewählt, dass sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ebenfalls zu $p_{\rm M} = 0.01$ ergibt.

Die beiden unteren Bilder „E3” und „E4” können entstanden sein durch Verfälschung mit

dem BSC–Modell $(p = 0.01)$,
dem gleichen GE–Modell, das zu „W1” geführt hat,
dem gleichen GE–Modell, das zu „W2” geführt hat.

Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Kapitel 5.4.
Alle Bilder wurden mit dem Windows–Programm Digitale Kanalmodelle & Multimedia erzeugt. Der angegebene Link verweist auf die Zip–Version dieses Programms.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm G} \ = \ $

${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} D_{\rm K} \ = \ $

${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm c} \ = \ $

${\rm E3 \ bzw. E4} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm d} \ = \ $

	BSC–Modell mit $p = 0.01$,
	gleiches GE–Modell wie für „W1”,
	gleiches GE–Modell wie für „W2”

	BSC–Modell mit $p = 0.01$,
	gleiches GE–Modell wie für „W1”,
	gleiches GE–Modell wie für „W2”

Musterlösung

(1) Die Umstellung der vorgegebenen $p_{\rm M}$–Gleichung führt zum gesuchten Ergebnis:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{p_{\rm M} \cdot [{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)] - p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = $$

$$\ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{ 0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot 0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0005}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit der angegebenen Gleichung erhält man:

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 =\frac{1}{0.0105}-1\hspace{0.15cm}\underline {\approx 94.2}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Das Bild „Weiß” besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben. Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden (W1 und W2) jeweils $N_{\rm c} = \underline{192}$ Bitfehler zu erwarten.

(4) Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich $N_{\rm d} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}$ (statistischer Wert).

(5) Das Bild „E3” zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler. Richtig ist somit Antwort 1.

(6) Das Bild „E4” zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur. Verwendet wurde hierbei das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für „W2” verwendet wurde ⇒ Antwort 3. Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu 4. Das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$–Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC–Modell basierende Bild „E3”. Bezogen auf Pixel ergeben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.