Aufgabe 3.10Z: ML–Decodierung von Faltungscodes
Der Viterbi–Algorithmus stellt die bekannteste Realisierungsform für die Maximum–Likelihood–Decodierung eines Faltungscodes dar. Wir gehen hier von folgendem Modell aus:
- Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird durch einen Faltungscode in die Codesequenz $\underline{x}$ umgesetzt. Es gelte $u_i ∈ \{0, \, 1\}$. Dagegen werden die Codesymbole bipolar dargestellt: $x_i ∈ \{–1, \, +1\}$.
- Der Kanal sei durch das BSC–Modell gegeben ⇒ $y_i ∈ \{–1, \, +1\}$ oder es wird der AWGN–Kanal vorausgesetzt ⇒ reellwertige $y_i$.
- Bei gegebener Empfangssequenz $\underline{y}$ entscheidet sich der Viterbi–Algorithmus für die Codesequenz $\underline{z}$ entsprechend
- $$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.$$
Dies entspricht dem Maximum–a–posteriori (MAP)–Kriterium. Sind die Informationssequenzen $\underline{u}$ gleichwahrscheinlich, so geht dieses in das etwas einfachere Maximum–Likelihood–Kriterium über:
- $$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.$$
Als weiteres Ergebnis gibt der Viterbi–Algorithmus zusätzlich die Sequenz $\underline{\upsilon}$ als Schätzung für die Informationssequenz $\underline{u}$ aus.
In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ sowie die Euklidischen Distanz
- $$d_{\rm E}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2}\hspace{0.05cm}$$
ermittelt werden. Anschließend ist das obige ML–Kriterium mit
- der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$,
- der Euklidischen Distanz $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$, und
- dem Korrelationswert $〈 x \cdot y 〉$ zu formulieren.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf die Theorieseite 6 des Kapitels .
- Zur Vereinfachung wird auf Tilden und Apostroph verzichtet.
- Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf folgenden Seiten dieses Buches:
Fragebogen
Musterlösung
