Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells

BEC–Kanalmodell

Wir betrachten das so genannte BEC–Kanalmodell (Binary Erasure Channel) mit

der Eingangsgröße $x ∈ \{+1, \, –1\}$,
der Ausgangsgröße $y ∈ \{+1, \, –1, \, {\rm E}\}$, und
der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$.

Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (Erasure), dass der Ausgangswert $y$ weder als „$+1$” noch als „$–1$” entschieden werden konnte.

Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten

$${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$

Das Log–Likelihood–Verhältnis (kurz: $L$–Wert, englisch: Log Likelihood Ratio, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:

$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für den bedingten $L$–Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y ∈ \{+1, \, –1, \, {\rm E}\}$:

$$L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false