Aufgabe 4.4: Extrinsische L–Werte beim SPC

Hilfstabelle

Wir betrachten nochmals den Single Parity–check Code. Bei einem solchen SPC $(n, \, n-1, \, 2)$ stammen von den $n \ \rm Bits$ eines Codewortes $\underline{x}$ die ersten $k = n \, –1 \ \rm Bits$ von der Quellenfolge $\underline{u}$ und es wird nur ein einziges Prüfbit $p$ hinzugefügt, und zwar derart, dass die Anzahl der Einsen im Codewort geradzahlig ist:

$$\underline{x} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm} x_2, \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.08cm} , x_{n-1}, \hspace{0.03cm} x_n \hspace{0.03cm} \big ) = \big ( \hspace{0.03cm}u_1, \hspace{0.03cm} u_2, \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.08cm} , u_{k}, \hspace{0.03cm} p \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$

Die extrinsische Information über das $i$–te Codebit wird über alle anderen Symbole $(j ≠ i)$ gebildet. Deshalb schreiben wir für das um ein Bit kürzere Codewort:

$$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.08cm} , \hspace{0.03cm} x_{i-1}, \hspace{0.43cm} x_{i+1}, \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.08cm} , x_{n} \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$

Der extrinsische $L$–Wert über das $i$–te Codesymbol lautet mit dem Hamming–Gewicht $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{-i}$:

$$L_{\rm E}(i) = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$

Ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler größer als die im Nenner, so ist $L_{\rm E}(i) > 0$ und damit wird auch der Aposteriori–$L$–Wert $L_{\rm APP}(i) = L_{\rm A}(i) + L_{\rm E}(i)$ vergrößert, das heißt tendenziell in Richtung des Symbols $x_i = 0$ beeinflusst. Andernfalls (bei $L_{\rm E}(i) < 0$) spricht aus Sicht der anderen Symbole $(j ≠ i)$ vieles dafür, dass $x_i = 1$ ist.

Behandelt wird ausschließlich der SPC (4, 3, 4), wobei für die Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ gilt:

$$p_1 = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_2 = 0.9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_3 = 0.3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_4 = 0.6 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergeben sich die Apriori–$L$–Werte zu:

$$L_{\rm A}(i) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{{\rm Pr}(x_i = 0)}{{\rm Pr}(x_i = 1)} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_i}{p_i} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Soft–in Soft–out Decoder
In der oberen Tabelle sind für $p_i = 0$ bis $p_i = 1$ mit Schrittweite $0.1$ angegeben:
- die Wahrscheinlichkeit $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$ ⇒ Spalte 2,
- die Werte für $1 - 2p_i$ ⇒ Spalte 3,
- die Apriori–$L$–Werte $L_i = \ln {[(1 - p_i)/p_i]} = L_{\rm A}(i)$ ⇒ Spalte 4.
Der Tangens Hyperbolicus ($\tanh$) von $L_i/2$ ist identisch mit $1-2p_i$ ⇒ Spalte 3.
In der Aufgabe Z4.4 wird gezeigt, dass für den extrinsischen $L$–Wert auch geschrieben werden kann:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.25cm}(1-2p_j) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$L_{\rm A}(i = 1) \ = \ $

$L_{\rm A}(i = 2) \ = \ $

$L_{\rm E}(i = 1) \ = \ $

$L_{\rm E}(i = 2) \ = \ $

	Es gilt $p_j = 1/[1 + \exp {(L_j)}]$.
	Es gilt $1-2p_j = [\exp {(L_j)} - 1] \ / \ [\exp {(L_j)} + 1]$.
	Es gilt $1-2p_j = \tanh {(L_j/2)}$.

$L_{\rm E}(i = 3) \ = \ $

$L_{\rm E}(i = 4) \ = \ $

Musterlösung

(1)

(2)

(3)

(4)