Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix

Vorgegebene Prüfmatrizen

In dieser Aufgabe sollen die Coderaten der Codes $C_1, \, C_2, \, C_3$ und $C_4$ ermittelt werden, wobei die Codes allein durch ihre Prüfmatrizen gegeben sind. Eine untere Schranke für die Coderate $R$ lautet:

$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.05cm}.$$

Sind die $m$ Prüfgleichungen aller Matrix–Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen.

Verwendet ist hier die folgende Nomenklatur:

$w_{\rm Z}(j)$ mit $1 ≤ j ≤ m$ ist das Hamming–Gewicht der $j$–ten Zeile der Prüfmatrix.
Durch Erwartungswertbildung ergibt sich:

$${\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{m} w_{\rm Z}(j)\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gibt $w_{\rm S}(i)$ mit $1 ≤ i ≤ n$ das Hamming–Gewicht der $i$–ten Spalte von $\mathbf{H}$ an, mit dem Erwartungswert

$${\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} w_{\rm S}(i)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false