Aufgabe 2.12Z: Reed–Solomon–Syndromberechnung

$\rm GF(2^3)$ –Umrechnungstabellen

Wie in der Aufgabe A2.12 betrachten wir den Reed–Solomon–Code $(7, \, 4, \, 4)_8$, der auf dem Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = 8 = 2^3$ basiert. Die Grafik zeigt die zugehörige Umrechnungstabelle.

Gegeben sind die möglichen Codesymbole in Exponentendarstellung (Potenzen von $\alpha$) sowie in Polynom– und Koeffizientendarstellung.

Vorgegeben ist das Empfangswort $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Anhand des Syndroms

$$\underline {s} = (s_0, s_1, s_2) = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}$$

soll überprüft werden, ob einzelne Symbole des Empfangsvektors $\underline{y}$ bei der Übertragung verfälscht wurden. Gegeben ist hierzu die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des betrachteten Codes und deren Transponierte:

$${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4} \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 \\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 \\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 \\ \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} \\ \alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} \\ \alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht auf die Seite 4 des Kapitels Fehlercodierung nach Reed–Solomon–Codierung.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false