Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN

Unvollständige Ergebnistabelle

Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern

$n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
$k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
$t = 2$ (Korrekturfähigkeit)

soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim Bounded Distance Decoding (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:

$${\rm Pr(Blockfehler)} =$$

$$ = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

Die Berechnung erfolgt für den AWGN–Kanal, der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung

$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$

in das BSC–Modell übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des m–BSC–Modells gilt:

$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm},$$

wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).

Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.

Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:

$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \big [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\big ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$

Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\epsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält

$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.

Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der Zusatzaufgabe Z2.15. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
Wir weisen Sie auf folgende Interaktionsmodule hin:

Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$E_{\rm B}/N_0 = 5 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-2}$

$E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$

$E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}$

$\epsilon_{\rm S} = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$

$\epsilon_{\rm S} = 0.01 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$

$\epsilon_{\rm S} = 0.001 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$

Musterlösung

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)