Aufgabe 1.1Z: Redundanzfreie Binärquelle

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Diracförmiges Quellensignal

Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge

$$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$

vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable $\nu$ mit $0$ beginnt. Entstammt jedes einzelne Symbol $q_\nu$ dem Symbolvorrat $\{\rm L, H\}$, so spricht man von einer Binärquelle.

Unter Verwendung des Symbolabstandes $T$ kann man die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal

$$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$

kennzeichnen, was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht. Hierbei bezeichnet man $a_\nu$ als die Amplitudenkoeffizienten. Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:

$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:

$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal $q(t)$ einer Binärquelle dargestellt. Von dieser ist bekannt, dass sie redundanzfrei ist. Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Kenngrößen der digitalen Quelle.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit $\rm L$ und $\rm 0$ bezeichnet. Um die etwas verwirrende Zuordnung $a_\nu = 1$ für $q_\nu =\rm 0$ und $a_\nu = 0$ für $q_\nu =\rm L$ zu vermeiden, werden in unserem Lerntutorial die Symbole $\rm L$ („Low”) und $\rm H$ („High”) verwendet.

Fragebogen

1

Wie groß ist der Symbolabstand $T$?

$T \ = \ $ $\ \rm \mu s$

2

Wie groß ist die von der Quelle abgegebene Bitrate $R$?

$R \ = \ $ $\ \rm kbit/s$

3

Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?

	Die Symbolfolge ist unipolar.
	Die Symbolfolge ist bipolar.

4

Wie lautet das Quellensymbol $q_2$?

	$q_2 = \rm L$,
	$q_2 = \rm H$.

5

Wie groß ist die Symbolwahrscheinlichkeit $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_\nu = \rm H$)?

$p_{\rm H} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole $\underline{T = 2\ \rm \mu s}$.

(2)  Bei einer redundanzfreien Binärquelle – und nur bei dieser – ist die Bitrate $R = 1/T\hspace{0.15cm}\underline{=500 \ \rm kbit/s}$.

(3)  Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind $\pm 1$. Deshalb ist die gegebene Symbolfolge bipolar.

(4)  Der Amplitudenkoeffizient $a_2$ kann bei $2T = 4 \ \rm \mu s$ abgelesen werden. Bei bipolarer Zuordnung folgt aus $a_2 = -1$ für das Symbol $q_2 =\rm L$.

(5)  Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert: Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch die Bedingung $p_{\rm H} = p_{\rm L}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$ (gleichwahrscheinliche Symbole) gelten.