Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix

Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$

$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$

$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:

$A_1 = B_2 = 1$,
$A_2 = B_2 = 0$,
$A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} B_3 = 0.6$,

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	$\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.

$\rho_{12} \ =$

$\rho_{13} \ =$

$\rho_{23} \ =$

$\rho_{12} \ = $

$\rho_{13} \ = $

$\rho_{23} \ = $

Musterlösung

(1) Nur die zweite und die letzte Aussage treffen zu:

Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ⇒ ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = u$, $x_2 = v$ und $x_3 = w$ gelten.
Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von $0$ verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.

(2) In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$) korreliert.
Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$

(3) Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$

$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$

Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht traurig, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.