Aufgabe 5.2Z: Zur PN–Modulation

Modelle von PN–Modulation (oben) und BPSK (unten)

Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (engl. Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt. Darunter dargestellt ist das TP–Modell der binären Phasenmodulation (BPSK).

Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt ist. Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.

Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
Ohne Rauschen ist Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$. Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$

folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann.

(2) Richtig ist wieder der letzte Lösungsvorschlag:

Im rausch– und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$.
Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.

(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.
Wegen ${\rm E}[c^2(t)] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert.
Die für BPSK gültige Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.
Ergo: Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.

	$d(νT)$ kann gaußverteilt sein.
	$d(νT)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.
	Es sind nur die Werte $d(νT) = +1$ und $d(νT) = -1$ möglich.

	Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n'(t) = n(t) · c(t)$ ersetzt werden.
	Die Integration muss nun über $J · T$ erfolgen.
	Die Rauschleistung $σ_n^2$ muss um den Faktor $J$ vermindert werden.

	Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$.
	Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$.
	Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.