Aufgabe 3.6: Zustandsübergangsdiagramm

Einfache Realisierung eines Rate–$1/2$–Faltungscodierers

Eine Beschreibungsmöglichkeit für Faltungscodierer bietet das so genannte Zustandsübergangsdiagramm. Beinhaltet der Coder $m$ Speicherregister ⇒ Einflusslänge $\nu = m + 1$, so gibt es nach der aktuellen Speicherbelegung verschiedene Zustände $S_{\mu}$ mit $0 ≤ \mu ≤ 2^m -1$, wobei für den Index gilt:

$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Art der Coderbeschreibung soll auf den oben skizzierten Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$ angewendet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Zustandsdefinition für ein Speicherregister.

Fragebogen

Musterlösung

Ersatzschaltbild des betrachteten Codierers

(1) Wie aus dem nebenstehenden Ersatzschaltbild hervorgeht, beinhaltet der Codierer nur ein Speicherelement ⇒ Gedächtnis $m = 1$. Damit gibt es $2^m \ \underline{= 2}$ Zustände, nämlich

den Zustand $S_0 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 0$,
den Zustand $S_1 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 1$.

(2) Von jedem Zustand gehen $2^k = 2$ Pfeile zu verschiedenene Zuständen ab. Da es nur zwei Zustände gibt, ist die Antwort JA richtig.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Das zum Zeitpunkt $i$ anliegende Informationsbit $u_i$ ist hinsichtlich des darauf folgenden Zeitpunkts $(j = i + 1)$ das vorherige Bit $(u_{j–1})$.
Damit gilt $s_{i+1} = u_i$. Nur mit $u_i = 0$ kommt man von $s_i = S_1$ nach $s_{i+1} = S_0$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.
Aus $s_i = S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1$ folgt weiter ⇒ Lösungsvorschlag 3:

$${x}_i^{(1)} = u_i = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{x}_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}= 0+1 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x}_i = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$

Den Lösungsvorschlag 4 hätte man von Anfang an ausschließen können. Die Grafik auf dem Angabenblatt zeigt eindeutig, dass der Coder systematisch ist: $x_i^{(1)} = u_i$. Die Kombination $u_i = 0$ und $\underline{x}_i = (1, 0)$ würde dem widersprechen.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

Auf ähnlichem Lösungsweg wie in der Teilaufgabe (3) gelangt man zum Ergebnis, dass hier das aktuelle Informationsbit $u_i = 1$ sein muss.
Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (10)$.
Damit ergeben sich das folgende Zustandsübergangsdiagramm (links) und das daraus ableitbare Trellisdiagramm:

Zustands– und Trellisdiagramm für den betrachteten Codierer

Rote Pfeile kennzeichnen das Informationsbit $u_i = 0$, während bei blauen Pfeilen $u_i = 1$ anzusetzen ist.

(5) Beide Lösungsvorschläge sind richtig. Für die Informationssequenzen gibt es (außer binär) keine weiteren Beschränkungen.

(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1. Ausgehend vom Zustand $S_0$ kommt man

mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$11$”,
mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$10$”,
mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe „$01$”,
mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe „$00$”,
mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$11$”,
mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$10$”.

Dagegen ist die zweite Codesequenz nicht möglich:

Die Ausgabe „$11$” bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben „$01$” und „$10$” möglich, nicht jedoch „$00$”.

	Das aktuelle Informationsbit muss $u_i = 0$ sein.
	Das aktuelle Informationsbit muss $u_i = 1$ sein.
	Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (01)$.
	Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (10)$.

	Das aktuelle Informationsbit muss $u_i = 0$ sein.
	Das aktuelle Informationsbit muss $u_i = 1$ sein.
	Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (01)$.
	Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (10)$.

	$\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1 \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

	$\underline{x} = (11, \, 10, \, 01, \, 00, \, 11, \, 10, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x} = (11, \, 00, \, 10, \, 01, \, 11, \, 00, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

	Ja.
	Nein.