Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
Inhaltsverzeichnis
Programmbeschreibung
Das Applet verdeutlicht
Das Applet verwendet das Framework Plot.ly Stimmt das?
Theoretischer Hintergrund
Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation
Versuchsdurchführung
- Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
- $M=2$ steht für „Binärcode” und $M=4$ für „Quaternärärcode”.
- „Gauß” steht für bdquo;nach Gauß‐Empfangsfilter”.
- „Rechteck” steht für „Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:
- Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
(1) Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für $M=2 \text{, Gauß, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.
- Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal $d(t)$ in Stücke der Dauer $2T$ unterteilt und diese Teile übereinanderzeichnet.
- In $d(t)$ müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein ⇒ mindestens $2^5 = 32$ Teilstücke ⇒ maximal $32$ unterscheidbare Linien.
- Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (halbe) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.
(2) Gleiche Einstellung wie in (1). Zusätzlich gilt $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen $ö_{\rm norm}$, $\sigma_{\rm norm}$ und $p_{\rm U}$.
- $ö_{\rm norm}= 0.368$ zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt $ö_{\rm norm}= 1$.
- Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
- Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 1.4\%)$ bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B. $-1, -1, +1, -1, -1$.
- Andere Folgen werden weniger verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$ (beschreibt den „Worst Case”).
(3) Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem Wert für die normierte Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B}$ wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal?
- Der minimale Wert $p_{\rm U, \ min} \approx 6 \cdot 10^{-5}$ ergibt sich für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
- Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch (2) von $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ auf $\sigma_{\rm norm}= 0.238$ an.
- Dies wird aber durch die größere normierte Augenöffnung $ö_{\rm norm}= 0.91$ gegenüber $ö_{\rm norm}= 0.368$ mehr als ausgeglichen $($Vergrößerungsfaktor $\approx 2.5)$.
(4) Für welche normierte Grenzfrequenzen $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$ ergibt sich einevöllig unzureichende ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} \approx 50\%$ ?
- Für $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.27$ ergibt sich ein geschlossenes Auge $(ö_{\rm norm}= 0)$ und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von $50\%$.
- Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss mehr oder weniger zufällig erfolgen, auch bei guten Rauschverhältnissen $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.
(5) Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der $\rm IDFT$ im $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?
- Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear ⇒ $D(1) = D(15)=0.5$.
(6) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen. Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich?
- Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
- Das $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf $D(1)$ und $D(15)$. Die Beträge $|D(1)|$ und $|D(15)|$ bleiben ebenfalls gleich.
- Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.
(7) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen $\text{FT}$ ?
- Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
- Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt: $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
- Der Koeffizient $D(1)$ ⇒ $($Frequenz: $+f_0)$ ist imaginär und hat den Imaginärteil $-0.5$. Entsprechend gilt ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$ ⇒ $($Frequenz: $-f_0)$.
(8) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe (5).
- Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
- Für die Frequenz $2f_0$ steht das Feld $D(2)$ und für die Frequenz $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld $D(14) = D(-2)$ : $D(2) = D(14) = 0.5$.
(9) Untersuchen Sie nun den Fall $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.
- Zum gewünschten Signal kommt man von $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$ mit zwei Verschiebungen. Bei (7): Vier Verschiebungen.
- Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend: ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$ und ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.
(10) Neue Einstellung: $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.
- Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
- $8f_0$ ist die höchste mit $N=16$ in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich $+1$ und $-1$.
- Unterschied zur Teilaufgabe (5): Aus $D(1) =0.5$ wird nun $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich $D(15) =0.5$ auf $D(8) =0.5$. Endergebnis: $D(8) =1$.
(11) Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen $\text{DFT von Signal (i): Diracimpuls}$ sowie $\text{IDFT von Spektrum (I): Diracspektrum}$ ?
- Keine! Im ersten Fall sind alle Koeffizienten $D(\mu) = 1$ (reell); im zweiten Fall dagegen in äquivalenter Weise die Koeffizienten $d(\nu) = 1$ (reell).
(12) Gibt es Unterschiede, wenn man im jeweiligen Eingabefeld die reelle $1$ um jeweils eine Stelle nach unten verschiebt, also $d(\nu=1) = 1$ bzw. $D(\mu=1) = 1$?
- Im ersten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$ ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$ mit negativem Vorzeichen.
- Im zweiten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$ ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$ mit positivem Vorzeichen.
- Hinweis: Mit ${\rm Re}\big [D(\mu=15)] = 1$ ergäbe sich auch im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $x(t) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$ mit negativem Vorzeichen.
(13) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (k): Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die $d(\nu)$–Belegungunter der Annahme $T_{\rm A} = 1 \ \rm ms$.
- Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$ ist symmetrisch um $t=0$ und erstreckt sich von $-8 \cdot T_{\rm A} = -8 \ \rm ms$ bis $+8 \cdot T_{\rm A} = +8 \ \rm ms$.
- $d(\nu)$–Belegung: $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... , $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$, $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ..., $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
(14) Gleiche Einstellung wie bei (13). Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis, insbesondere die Koeffizienten $D(0)$, $D(1)$, $D(2)$ und $D(15)$.
- Im Frequenzbereich steht $D(0)$ für die Frequenz $f= 0$ und $D(1)$ und $D(15)$ für die Frequenzen $\pm f_{\rm A}$. Es gilt $f_{\rm A} = 1/(N \cdot T_{\rm A}) = 62.5\text{ Hz}$.
- Für den Wert des kontinuierlichen Spektrums bei $f=0$ gilt $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 0.5/(0.0625\text{ kHz}) = 8\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
- Die erste Nullstelle des ${\rm si}^2$–förmigen Spektrums $X(f)$ tritt bei $2 \cdot f_{\rm A}= 125\text{ Hz}$ auf. Die weiteren Nullstellen sind äquidistant.
(15) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (i): Rechteckimpuls}$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.
- Das eingestellte (symmetrische) Rechteck erstreckt sich über $\pm 4 \cdot T_{\rm A}$. An den Rändern sind die Zeitkoeffizienten nur halb so groß: $d(4) = d(12) =0.5$.
- Die weiteren Aussagen von (14) gelten auch für dieses ${\rm si}$–förmige Spektrum $X(f)$.
(16) Gleiche Einstellung wie bei (15). Welche Modifikationen sind am $d(\nu)$–Feld vorzunehmen, um die Rechteckdauer zu halbieren ⇒ $\pm 2 \cdot T_{\rm A}$.
- $d(0) = d(1) = d(15) =1, \ d(2) = d(14) = 0.5$. Alle anderen Zeitkoeffizienten Null ⇒ erste Nullstelle des ${\rm si}$–Spektrums bei $4 \cdot f_{\rm A}= 250\text{ Hz}$.
(17) Neue Einstellung: $\text{IDFT von Spektrum (L): Gaußspektrum}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zeitbereich.
- Die Zeitfunktion $x(t)$ ist hier ebenfalls gaußförmig mit dem Maximum $x(t=0)=4$. Für das Spektrum gilt $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 16\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
- Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t= X(f= 0)/x(t= 0) = 4\text{ ms}$. Der Kehrwert ergibt die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/\Delta t= 250\text{ Hz}$.
Zur Handhabung des Applets
(A) Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(B) (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(C) Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(D) (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(E) Auswahl: DFT $(t \to f)$ oder IDFT $(f \to t)$
(F) Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder
Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)
(G) Eingabefeld auf Null setzen
(H) Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben
( I ) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauwahl
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung
(K) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
- Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):
- (a) entsprechend Zahlenfeld, (b) Gleichsignal, (c) Komplexe Exponentialfunktion der Zeit, (d) Harmonische Schwingung $($Phase $\varphi = 45^\circ)$,
- (e) Cosinussignal (eine Periode), (f) Sinussignal (eine Periode), (g) Cosinussignal (zwei Perioden), (h) Alternierende Zeitkoeffizienten,
- (i) Diracimpuls, (j) Rechteckimpuls, (k) Dreieckimpuls, (l) Gaußimpuls.
- Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):
- (A) entsprechend Zahlenfeld, (B) Konstantes Spektrum, (C) Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz, (D) äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
- (E) Cosinussignal (eine Frequenzperiode), (F) Sinussignal (eine Frequenzperiode), (G) Cosinussignal (zwei Frequenzperioden), (H) Alternierende Spektralkoeffizienten,
- (I) Diracspektrum, (J) Rechteckspektrum, (K) Dreieckspektrum, (L) Gaußspektrum.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2003 von Thomas Großer im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).
Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch Studienzuschüsse der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.
