Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen

Ziffernmengen $A$, $B$, $C$

Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$

$$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$

$$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert:

$$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$

$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$

$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$

$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.

Fragebogen

Musterlösung

Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:

$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$

$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$

$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$

$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$

(1) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

$A$ und $C$ haben kein gemeinsames Element.
$A$ und $B$ beinhalten jeweils die $3$.
$B$ und $C$ beinhalten jeweils die $6$.

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten ⇒ $ A \cap B \cap C = \phi$ ⇒ $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die $4$.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

Der erste Vorschlag ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
Auch der zweite Vorschlag ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt: $X \cap \bar B \subset \bar B \ \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$.
Auch der letzte Vorschlag ist richtig: $A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\}$ und $H = \{4, 9\}$ bilden ein „vollständiges System”.
Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind.

	Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
	$F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
	Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
	Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.

	$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
	$A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
	$B$ und $C$ sind disjunkte Mengen.

	Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$.
	Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$.