Aufgabe 4.10: Binär und quaternär
Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:
- Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
- Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
- Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
- Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
- $${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
- Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
- $${\rm Pr}\big[q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {1}/{6},$$
- $${\rm Pr}\big[q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {2}/{6}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
(2) Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
- $${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
- Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
- Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
(3) Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
- $$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
- die Periodendauer $T_0$: diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
- der lineare Mittelwert: Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$; und
- die Varianz: Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.
Nicht ermittelt werden können:
- die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;
- die Momente höherer Ordnung: für deren Berechnung benötigt man die WDF; sowie
- alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.