Korrelation und Regressionsgerade
Inhaltsverzeichnis
Programmbeschreibung
Theoretischer Hintergrund
Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient
Wir betrachten eine zweidimensionale $\rm (2D)$–Zufallsgröße $(XY)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$ statistische Abhängigkeiten bestehen. Ein Sonderfall ist die Korrelation.
$\text{Definition:}$ Unter Korrelation versteht man eine lineare Abhängigkeit zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$.
- Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
- Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.
Für das Folgende setzen wir voraus, dass $X$ und $Y$ mittelwertfrei seien ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$. Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:
- die Varianzen in $X$– bzw. in $Y$–Richtung:
- $$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$
- die Kovarianz zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$:
- $$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $X$ und $Y$ ist die Kovarianz $\mu_{XY} \equiv 0$.
- Das Ergebnis $\mu_{XY} = 0$ ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten $X$ und $Y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
- Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $Y=X^2.$
Man spricht von vollständiger Korrelation, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ durch die Gleichung $Y = K · X$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:
- $\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$ bei positivem Wert von $K$,
- $\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$ bei negativem $K$–Wert.
Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.
$\text{Definition:}$ Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus der Kovarianz $\mu_{XY}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_X$ und $σ_Y$ der beiden Komponenten:
- $$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{XY}$ weist folgende Eigenschaften auf:
- Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
- Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{XY} = 0$.
- Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ ist $ρ_{XY}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
- Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $X$–Wert im statistischen Mittel auch $Y$ größer ist als bei kleinerem $X$.
- Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $Y$ mit steigendem $X$ im Mittel kleiner wird.
$\text{Beispiel 1:}$ Die 2D–Zufallsgröße $XY$ sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:
- $(+0.5,\ 0)$ sowie $(-0.5,\ 0)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.3$,
- $(+1,\ +1)$ sowie $(+1,\ -1)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.2$.
$\rm (A)$ Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ berechnet werden:
- $$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$
- $$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6324.$$
$\rm (B)$ Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:
- $$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$
$\rm (C)$ Damit erhält man für den Korrelationskoeffizient:
- $$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6324 }\approx 0.853. $$
Dummy
Korrelationsgerade
$\text{Definition:}$ Als Korrelationsgerade bezeichnet man die Gerade $y = K(x)$ in der $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch Regressionsgerade genannt.
Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:
- Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$–Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:
- $$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
- Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
- $$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$
Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$–Achse einnimmt, beträgt:
- $$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$
Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.
- Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.
- Das interaktive Applet Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen $($falls $σ_y \ne σ_x)$ für die Regression von $x$ auf $y$ ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
- $$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$
Versuchsdurchführung
- Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Hide solution”.
- Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:
- Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
In der folgenden Beschreibung bedeutet
- Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
- Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).
(1) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.
- Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$
(2) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder }
{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.
$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$
(3) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $
$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$
(4) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.
- Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;
$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;
(5) Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exakt)}$.
$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0 \ ( \approx 0)$
$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.
(6) Es gelten weiter die Einstellungen von (4). Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$
$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$
Zur Handhabung des Applets
(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz
(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
(C) Vorauswahl für roten Parametersatz
(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider
(E) Graphische Darstellung der Verteilungen
(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz
(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz
(H) Variation der grafischen Darstellung
$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),
$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)
$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)
$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.
( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung
Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:
- Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
- Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018 wurde das Programm von Jimmy He (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
