Aufgabe 4.11Z: Nochmals OOK und BPSK

Fehlerwahrscheinlichkeiten von On–Off–Keying und Binary Phase Shift Keying

Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren On–Off–Keying (OOK) und Binary Phase Shift Keying (BPSK) ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$

für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)

für On–Off–Keying (OOK), oft auch Amplitude Shift Keying (2–ASK) genannt:

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$

für Binary Phase Shift Keying (BPSK):

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten (gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten) sind in der Grafik dargestellt.

Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:

$$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$

Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.

Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende obere Schranke:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$p_{\rm S}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –5}$

$p_{\rm S}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –5}$

${\rm Minimum} \big[10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \big ] \ = \ $

$\ \rm dB$

Musterlösung

(1) Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 } \underline{=85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.

(2) Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 } \underline{=0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$.
Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.

(3) Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich.

Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.