Aufgabe 3.1Z: Faltungscodes der Rate 1/2

Zwei Faltungscodes der Rate $1/2$

Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$.

Am Eingang liegt die Informationssequenz $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$ an.

Hieraus werden durch Modulo–2–Operationen die beiden Sequenzen erzeugt:

$$\underline{\it x}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_i^{(1)} \hspace{0.05cm},\text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it x}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_i^{(2)} \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big ).$$

Die Sequenzen $x_i^{(j)}$ mit $j = 1$ bzw. $j = 2$ können außer von $u_i$ auch von früheren Info–Bits $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$ abhängen.

Man bezeichnet $m$ als das Gedächtnis und $\nu = m + 1$ als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers.

Die betrachteten Coder $\rm A$ und $\rm B$ unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Grundlagen der Faltungscodierung".

In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen $\underline {x}^{(1)}$ und $\underline {x}^{(2)}$ zur resultierenden Codesequenz

$$\underline {x} = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ \text{...}).$$

In den Teilaufgaben (3) bis (5) sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenze $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ und $\underline{x}$ ermitteln, wobei von der Informationssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$ auszugehen ist.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Für beide Coder gilt $k = 1$ und $n = 2$.

Das Gedächtnis $m$ und die Einflusslänge $\nu$ sind unterschiedlich ⇒ Antworten 3 und 4.

Äquivalente Coder–Darstellungen

(2) Das Schieberegister von Coder $\rm A$ beinhaltet zwar zwei Speicherzellen.

Da aber $x_i^{(1)} = u_i$ ist und $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ außer vom aktuellen Informationsbit $u_i$ nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit $u_{i-1}$ beeinflusst wird, ist

das Gedächtnis $m = 1$, und
die Einflusslänge $\nu = m + 1 = 2$.

Die Grafik zeigt die beiden Coder in anderer Darstellung, wobei die „Gedächtnis–Speicherzellen” gelb hinterlegt sind.

Beim Coder $\rm A$ erkennt man nur einen solchen Speicher ⇒ $m = 1$.
Dagegen gilt für den Coder $\rm B$ tatsächlich $m = 2$ und $\nu = 3$.
Richtig ist demnach der Lösungsvorschlag 2.

(3) Für den oberen Ausgang von Coder $\rm B$ gilt allgemein:

$$x_i^{(1)} = u_{i} + u_{i-1}+ u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$

Unter Berücksichtigung der Vorbelegung ($u_0 = u_{-1} = 0$) erhält man mit den obigen Angaben:

$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1} + u_{0}+ u_{-1} = 1+0+0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}x_2^{(1)} = u_{2} + u_{1}+ u_{0} = 0+1+0 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$x_3^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{3} + u_{2}+ u_{1} \hspace{0.25cm}= 1+0+1 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}x_4^{(1)} = u_{4} + u_{3}+ u_{2} = 1+1+0 = 0\hspace{0.05cm},$$

$$x_5^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{5} + u_{4}+ u_{3} \hspace{0.25cm}= 0+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}x_6^{(1)} = u_{6} + u_{5}+ u_{4} = 0+0+1 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$x_7^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x_8^{(1)} = \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.
Der zweite Lösungsvorschlag ⇒ $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ würde dagegen nur bei einem systematischen Code gelten (der hier nicht vorliegt).

(4) Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man mit $x_i^{(2)} = u_i + u_{i–2}$:

$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1+0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2^{(2)} = 0+0 = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}x_3^{(3)} = 1+1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_4^{(2)} = 1+0 = 1 \hspace{0.05cm},$$

$$x_5^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0+1 = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}x_6^{(2)} = 0+1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_7^{(2)} = x_8^{(2)} = \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist demnach der Lösungsvorschlag 2.

(5) Für die (gesamte) Codesequenz kann man formal schreiben:

$$\underline{\it x} = \big( \hspace{0.05cm}\underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} \underline{\it x}_i \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \underline{\it x}_i = \big( x_i^{(1)}\hspace{0.05cm}, x_i^{(2)} \big) \hspace{0.4cm}\Rightarrow \hspace{0.4cm} \underline{\it x} = \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_1^{(2)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(2)}\hspace{0.01cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm}. $$

Ein Vergleich mit den Lösungen der Aufgaben (3) und (4) zeigt die Richtigkeit von Lösungsvorschlag 1.

	$k$: Anzahl der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
	$n$: Anzahl der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
	$m$: Gedächtnisordnung des Codes bzw. des Coders,
	$\nu$: Einflusslänge des Codes.

	$\underline {x}^{(1)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ ...)$,
	$\underline {x}^{(1)} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \ ...)$.

	$\underline{x}^{(2)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ \text{...})$,
	$\underline{x}^{(2)} = (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$.

	$\underline {x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$,
	$\underline {x} = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, \ \text{...})$.