Poissonverteilung
Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei
- zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p →$ 0 ausgegangen wird,
- zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt $I · p = λ$ einen endlichen Wert besitzt.
Der Parameter $λ$ gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die Rate bezeichnet. Weiter ist zu vermerken:
- Im Gegensatz zur Binomialverteilung (0 ≤ $μ$ ≤ I) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, positive) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer diskreten Verteilung.
- Berücksichtigt man die oben genannten Grenzübergänge in der Gleichung für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung, so folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeiten der poissonverteilten Zufallsgröße $z$:
$$p_\mu = \rm Pr (\it z=\mu \rm ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot \rm (I-\mu \rm )!} \cdot\rm (\frac{\lambda}{I} \rm )^\mu \cdot \rm (\rm 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$ Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen: $$p_\mu = \frac{\it \lambda^\mu}{\mu!}\cdot \rm e^{-\lambda}.$$
Die Wahrscheinlichkeiten von
- Binomialverteilung (mit $I =$ 6, $p =$ 0.4)
- und Poissonverteilung (mit $λ =$ 2.4)
sind nebenstehender Grafik zu entnehmen:
- Beide Verteilungen besitzen den gleichen Mittelwert $m_1 =$ 2.4.
- Bei der Poissonverteilung (rote Pfeile) sind die äußeren Werte wahrscheinlicher als bei der Binomialverteilung.
- Zudem sind auch Zufallsgrößen $z$ > 6 möglich, auch wenn deren Wahrscheinlichkeiten bei der gewählten Rate eher klein sind.
Momente der Poissonverteilung
Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich direkt aus den entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung durch zweifache Grenzwertbildung: $$m_1 =\lim_{\left.{I\to\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} I \cdot p= \lambda,$$ $$\sigma =\lim_{\left.{I\to\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$
Daraus ist ersichtlich, dass bei der Poissonverteilung stets $σ^2 = m_1 = λ$ gilt.
Wie im letzten Beispiel werden hier
- Binomialverteilung (mit $I =$ 6, $p =$ 0.4)
- und Poissonverteilung (mit $λ =$ 2.4)
miteinander verglichen:
- Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 =$ 2.4.
- Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈$ 1.55.
- Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung nur $σ =$ 1.2.
Mit den nachfolgend genannten Modulen können Sie die Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte der Poissonverteilung für beliebige $λ$–Werte ermitteln:
Ereigniswahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung (für zwei unterschiedliche Raten) Gegenüberstellung Binomialverteilung - Poissonverteilung
