Wiener–Kolmogorow–Filter

1. Stochastische Signaltheorie
2. Filterung stochastischer Signale
3. Wiener–Kolmogorow–Filter

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Optimierungskriterium des Wiener–Kolmogorow–Filters

Als weiteres Beispiel zur Optimalfilterung betrachten wir nun die Aufgabenstellung, die Form eines Nutzsignals $s(t)$ aus dem durch additives Rauschen $n(t)$ gestörten Empfangssignals $r(t)$ im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers (MQF) möglichst gut zu rekonstruieren: $${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$

Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$

Für diese Optimierungsaufgabe gelten folgende Voraussetzungen:

• Das zu rekonstruierende Signal $s(t)$ ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses { $s(t)$}, von dem nur die statistischen Eigenschaften in Form des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_s(f)$ bekannt ist.
• Das Störsignal $n(t)$ ist durch das LDS ${\it Φ}_n(f)$ gegeben. Korrelationen zwischen dem Nutz– und dem Störsignal berücksichtigen die Kreuzkorrelationsdichtespektren ${\it Φ}_{sn}(f) = \hspace{0.1cm} –{ {\it Φ}_{ns} }^∗(f).$
• Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $d(t)$ unterscheiden soll. $T_{\rm M}$ bezeichnet wiederum die Messdauer.

Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s =$ 0) und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert: $$P_s = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {s(t)^2 \, {\rm{d}}t > 0.}$$

Ein grundsätzlicher Unterschied zur Aufgabenstellung beim Matched–Filter ist das stochastische und leistungsbegrenzte Nutzsignal $s(t)$. Erinnern wir uns: Beim Matched–Filter war das zu rekonstruierende Signal $g(t)$ deterministisch, zeitlich begrenzt und damit auch energiebegrenzt.

Ergebnis der Filteroptimierung

A. Kolmogorow und N. Wiener haben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst. Die Übertragungsfunktion des optimalen Filters kann über die so genannte Wiener-Hopfsche Integralgleichung ermittelt werden, und lautet: $$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{ns} (f)} }{ { {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{sn} (f) + {\it \Phi }_{ns} (f) + {\it \Phi }_n (f)}}.$$

Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen. Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll diese im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.

• Sind Signal und Störung unkorreliert ⇒ ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) =$ 0, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:

$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$

• Das Filter wirkt dann wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird.
• Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: ${\it Φ}_s(f) >> {\it Φ}_n(f).$
• Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen dem Filterausgangssignal $d(t)$ und dem zu approximierenden Eingangssignal $s(t)$ ist

$${\rm MQF} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{ {\it \Phi }_s (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}}{{ {\it \Phi }_s(f) + {\it \Phi }_n (f)}}\,{\rm{d}}f = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}\, {\rm{d}}f.}$$

Die Ableitung dieser Ergebnisse ist durchaus nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97] zu finden. In den beiden nächsten Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.