Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen
Das äquivalente TP–Signal bei Phasenmodulation lautet $$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_T = 1$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = 1/V$ angenommen.
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:
$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,$$
$${\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,$$
$${\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx ... \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal $$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man aus $${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ Aus der obigen Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
Im Fragebogen bezeichnen $S_{TP}(f)$ und $S_+(f)$ die Spektralfunktionen von äquivalentem TP–Signal und analytischem Signal unter der Annahme, dass $q(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ beträgt.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 3.1.
Fragebogen
Musterlösung
