Aufgabe 5.3: Mittlerer Quadratischer Fehler

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Wir betrachten drei impulsartige Signale, nämlich

• einen Gaußimpuls:

$$x_1(t) = A \cdot {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm},$$

• einen Rechteckimpuls $x_2(t)$ mit der Amplitude $\text{A}$ und der Dauer $\text{T}$:

$$x_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

• einen so genannten Spaltimpuls gemäß der Definition

$$x_3(t) = A \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/ T) ,\hspace{0.15cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$

Die Signalparameter seien $A$ = 1 V und $T$ = 1 ms. Die konventionelle Fouriertransformation ⇒ siehe Kapitel 3.1 führt zu folgenden Spektralfunktionen:

• $X_1(f)$ ist ebenfalls gaußförmig,
• $X_2(f)$ verläuft entsprechend der si–Funktion,
• $X_3(f)$ ist für $|f|$ < 1/(2 $T$) konstant und außerhalb 0.

Für alle Spektralfunktionen gilt $X(f = 0) = A \cdot T$. Ermittelt man das frequenzdiskrete Spektrum durch die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit den DFT-Parametern $N$ = 512 und $f_A \cdot T$ = 1/4, 1/8 bzw. 1/16, so wird dies aufgrund von Abbruch– und/oder Aliasingfehler zu Verfälschungen führen. Hierbei gibt $N$ die Anzahl der berücksichtigten Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich an und $f_A$ den Stützstellenabstand im Frequenzbereich. Die weiteren DFT–Parameter liegen mit $N$ und $f_A$ eindeutig fest. Für diese gilt:

$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm P} = 1/f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm A} = T_{\rm P}/N \hspace{0.05cm}.$$

Die Genauigkeit der jeweiligen DFT–Approximation wird durch den mittleren quadratischen Fehler (MQF) erfasst:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Die sich ergebenden MQF–Werte sind in obiger Grafik für $N$ = 512 sowie für $f_A \cdot T$ = 1/4, $f_A \cdot T$ = 1/8 bzw. $f_A \cdot T$ = 1/16 angegeben.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:

Diskrete Fouriertransformation

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3. Diese sind auch in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst: Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)

Fragebogen

1

Welcher Bereich $|f| \leq f_{\text{max}}$ wird mit $N$ = 512 und $f_A \cdot T$ = 1/8 erfasst?

$f_{\text{max}} \cdot T =$

2

In welchem Zeitabstand $T_A$ liegen die Abtastwerte von $x(t)$ vor?

$T_A/T =$

3

Aufgrund welchen Effekts ergibt sich ein größerer MQF–Wert, wenn man nun $f_A \cdot T$ = 1/4 anstelle von $f_A \cdot T$ = 1/8 verwendet?

	Der Abbruchfehler wird vergrößert.
	Der Aliasingfehler wird vergrößert.

4

Aufgrund welchen Effekts ergibt sich ein größerer MQF–Wert, wenn man dagegen $f_A \cdot T$ = 1/16 anstelle von $f_A \cdot T$ = 1/8 verwendet?

	Der Abbruchfehler wird vergrößert.
	Der Aliasingfehler wird vergrößert.

5

Vergleichen Sie die MQF–Werte des Rechteckimpulses $x_2(t)$ mit denen des Gaußimpulses $x_1(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	MQF wird größer, da die Spektralfunktion $X_2(f)$ asymptotisch langsamer abfällt als $X_1(f)$.
	Es dominiert der Aliasingfehler.
	Es dominiert der Abbruchfehler.

6

Vergleichen Sie die MQF–Werte des Spaltimpulses $x_3(t)$ mit denen des Gaußimpulses $x_1(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	MQF wird größer, da die Spektralfunktion $X_3(f)$ asymptotisch langsamer abfällt als $X_1(f)$.
	Es dominiert der Aliasingfehler.
	Es dominiert der Abbruchfehler.

Musterlösung

Musterlösung

1. Mit den DFT–Parametern $N$ = 512 und $f_A \cdot T$ = 1/8 folgt nach Multiplikation $f_P \cdot T$ = 64. Dadurch wird der Frequenzbereich $–f_P/2 \leq f < f_P/2$ erfasst:

$$f_{\rm max }\cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 32}\hspace{0.05cm}.$$

2. Die Periodifizierung der Zeitfunktion basiert auf dem Parameter $T_P = 1/f_A = 8T$. Der Abstand zweier Abtastwerte beträgt somit

$$T_{\rm A}/T = \frac{T_{\rm P}/T}{N} = \frac{8}{512}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.015625}\hspace{0.05cm}.$$

3. Mit dieser Maßnahme wird gleichzeitig $T_P$ von $8T$ auf $4T$ halbiert. Berücksichtigt werden somit nur noch Abtastwerte im Bereich $–2T \leq t < 2T$, was zu einer (geringfügigen) Erhöhung des Abbruchfehlers führt. Der mittlere quadratische Fehler (MQF) steigt dadurch beim Gaußimpuls $x_1(t)$ von $0.15 \cdot 10^{–15}$ auf $8 \cdot 10^{–15}$, obwohl der Aliasingfehler durch diese Maßnahme etwas kleiner wird.

4. Durch die Halbierung von $f_A$ wird auch $f_P$ halbiert. Dadurch erhöht sich der Aliasingfehler bei gleichzeitig kleinerem Abbruchfehler. Insgesamt steigt beim Gaußimpuls $x_1(t)$ der mittlere quadratische Fehler von $1.5 \cdot 10^{–16}$ auf $3.3 \cdot 10^{–16}$.

5. Wie aus der Grafik zu ersehen ist, trifft die letzte Aussage nicht zu im Gegensatz zu den ersten beiden. Aufgrund des langsamen, si–förmigen Abfalls der Spektralfunktion dominiert der Aliasingfehler. Der MQF–Wert ist bei $f_A \cdot T = 1/8$ mit $1.4 \cdot 10^{–5}$ deshalb deutlich größer als beim Gaußimpuls ( $1.5 \cdot 10^{–16}$ ).

6. Die Spektralfunktion $X_3(f)$ hat hier einen rechteckförmigen Vorlauf, so dass die beiden ersten Aussagen nicht zutreffen. Dagegen ist bei dieser si–förmigen Zeitfunktion ein Abbruchfehler unvermeidbar. Dieser führt zu den angegebenen großen MQF–Werten ⇒ Lösungsvorschlag 3.