Digitale Filter
Allgemeines Blockschaltbild
Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht. Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.
Um den Einfluss eines linearen Filters mit dem Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Nachfolgend sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.
Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit:
$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$
Hierzu ist folgendes zu bemerken:
- Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}, ... , x_{ν–M}.$
- Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}, ... , y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
- Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter $M$ als die Ordnung des digitalen Filters.
Nichtrekursive Filter
Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} =$ 0, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.
Ein solches nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:
- Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:
$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
- Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$. In diskreter Schreibweise lautet das entsprechende Eingangssignal: $x_ν ≡$ 0 mit Ausnahme von $x_0 =$ 1:
$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$
- Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:
$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$$
Ein Zweiwegekanal, bei dem
- das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um 2 μs verzögert ankommt, und
- in 4 μs Abstand – also absolut zur Zeit $t =$ 6 μs – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,
kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:
$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{\mu s}},\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$
Rekursive Filter
Sind alle Vorwärtskoeffizienten mit Ausnahme von $a_0$ identisch 0, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M =$ 1. Dann gilt folgendes Blockschaltbild:
Dieses Modell weist folgende Eigenschaften auf:
- Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab, wie die folgende Rechung zeigt:
$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$
- Die zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters reicht bis ins Unendliche. Darunter versteht man die Ausgangsfolge, wenn bei $t =$ 0 am Eingang eine einzelne „Eins” anliegt.
- Für $M =$ 1 lautet die zeitdiskrete Impulsantwort des rekursiven Filters:
$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } ).}$$
- Aus Stabilitätsgründen muss $b_1$ < 1 gelten. Bei $b_1 =$ 1 würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1$ > 1 würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
- Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:
$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$
Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 =$ 1 und $b_1 =$ 0.6. Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche. Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 =$ 0.6.
