Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung

In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.

Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend $$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$ vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann $$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm},$$ wobei $h'(t)$ die Laplace–Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.

Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe.

Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.
In der Zusatzaufgabe 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.

Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion $$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$ ⇒ „Konfiguration (5)” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

1. Nach den in der Aufgabe Z3.4 angegebenen Kriterien liegt dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle p_x = – A + j · B in der linken p–Halbebene eine entsprechende Nullstelle p_o = A + j · B in der rechten Halbebene gibt. Mit K = 1 ist dann die Dämpfungsfunktion a(f) = 0 Np ⇒ |H(f)| = 1. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden Konfigurationen (1) und (2) genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.

2. Die Übertragungsfunktion H_L⁽⁵⁾(p) wird ebenso durch die Konfiguration (4) beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Nullstellen liegen bei p_o = 0, der doppelte Pol bei p_x = –A = –2.

3. Für die Konfiguration (1) gilt:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$

4. In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2):

$$H_{\rm L}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 -4\cdot p +8}=1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge im Gegensatz zur Aussage 1. Während H_L(p) zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist, besitzt H_L'(p) nur eine einzige Nullstelle bei p = 0.

5. Für die Konfiguration (3) gilt:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nullstelle von H_L'(p) liegt nun bei p = –2, die Konstante ist K' = 4 ⇒ richtig ist hier nur Aussage 2.

6. Schließlich gilt für die Konfiguration (4):

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen: Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert. Die Pole von H_L'(p) sind dagegen stets identisch mit denen von H_L(p).

	Konfiguration (1),
	Konfiguration (2),
	Konfiguration (3),
	Konfiguration (4).

	Konfiguration (1),
	Konfiguration (2),
	Konfiguration (3),
	Konfiguration (4).

	$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.