Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen

Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = [\text{die Ziffern} \leqslant 3],$$ $$ B = [\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}],$$ $$ C = [\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert: $$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$ $$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$ $$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$ $$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten

Fragebogen

Musterlösung

Für die weiteren Mengen gilt:

$ D = (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) =$

$ =[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}] \cup [\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}] = \{1, 2, 6, 9\}$,

$ E = E = (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B) = (A \cap \bar A) \cup (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) \cup (\bar A \cap \bar B) =$

$= (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\}$,

$F = (A \cup C= \cap \bar B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\}$,

$H = (\bar A \cap \bar C) \cup (A \cap B \cap C) = (\bar A \cap \bar C) \cup \Phi = \{4, 9\}$.

1. Der erste Vorschlag (a1) ist falsch: $A$ und $B$ beinhalten jeweils die „3”.

(a2) ist richtig: Es liegt kein gemeinsames Element vor.

(a3) ist falsch: $B$ und $C$ beinhalten jeweils die „6”.

2. Der erste Vorschlag (b1) ist falsch: Es fehlt die „4”.

(b2) ist richtig : $ A \cap B \cap C = \Phi$ (keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten).

Bildung der Komplementärmenge:

$ \overline{A \cap B \cap C} = \bar \Phi = G$.

3. Der erste Vorschlag (c1) ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.

(c2) ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt:

$X \cap \bar B \subset \bar B \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$

(c3) ist falsch: Beispielsweise sind $B$ und $C$ nicht disjunkt.

(c4) ist richtig:

$A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\},$ $H = \{4, 9\}.$

Richtig sind also die Vorschläge 1, 2 und 4.

	Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
	$F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
	Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
	Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.

	$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
	$A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
	$B$ und $C$ sind disjunkte Mengen.

	Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$.
	Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$.