Aufgabe 2.1: Wahlnachfrage

Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten A, B und C an. Gewählt ist derjenige Kandidat, der mehr als 50% der abgegebenen Stimmen erhält. Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.

Direkt nach Schließung der Wahllokale wird das Ergebnis einer Wahlnachfrage vorgelegt:

Kandidat A: 48%, Kandidat B: 30%, Kandidat C: 22%.

Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich N = 2000 der insgesamt N ' = 800.000 Wählerinnen und Wähler. Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Fragen von folgenden Voraussetzungen aus:

Die bei der Wahl von den Kandidaten A, B und C tatsächlich erzielten Stimmen können als die Wahrscheinlichkeiten p_A, p_B und p_C aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative Häufigkeiten (bezogen auf N ') ermittelt werden.

Die 2000 ausgewählten Wähler repräsentieren die gesamte Wählerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgemäß geantwortet.

Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative Häufigkeiten aufgefasst werden: h_A = 0.48, h_B = 0.3, h_C = 0.22.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 2.1. Diese Thematik ist in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst:

Fragebogen

Musterlösung

1. Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass Kandidat A wahrscheinlich gewinnt.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage (h_A) vom endgültigen Ergebnis (p_A) betragsmäßig um mehr als 2% abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit N = 2000:

$$Pr(|h_A - p_A| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$

Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden Fälle, dass p_A ≤ 46% und p_A ≥ 50% ist. Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:

$$\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 15.6 \%\hspace{0.15cm}\underline{= 0.156}.$$

3. Mit ε = 4% (ergibt sich aus 0.26 – 0.22) liefert das Gesetz der großen Zahlen:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge \rm 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$

Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat C mindestens 26% der Stimmen erhält, ist nicht größer als 3.9%.

Da p_A = 0.48 fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig p_B ≤ 0.26. Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt, sind (p_C ≥ 0.26; p_B ≤ 0.26) und (p_C > 0.26; p_B < 0.26) gleich. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass C die Stichwahl) erreicht, ebenfalls auf 3.9% beschränkt:

$$\rm Pr(C\hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 3.9 \%\hspace{0.15cm}\underline{= 0.039}.$$

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