Aufgabe 2.6: PN-Generator der Länge 5

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In der Grafik sehen Sie einen Pseudozufallsgenerator der Länge $L = 5$, der zur Erzeugung einer Binärfolge $\langle z_{\nu} \rangle$ eingesetzt werden soll.

• Zum Startzeitpunkt seien alle Speicherzellen mit Einsen vorbelegt.
• Zu jedem Taktzeitpunkt wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Stelle nach rechts verschoben und der aktuell erzeugte Binärwert $z_{\nu}$ (0 oder 1) in die erste Speicherzelle eingetragen.

Hierbei ergibt sich $z_{\nu}$ aus der Modulo-2-Addition zwischen $z_{\nu-3}$ und $z_{\nu-5}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen:

Verdeutlichung der PN-Generatoren am Beispiel ''L'' = 4

Fragebogen

1

Wie lautet das Generatorpolynom $G(D)$ des dargestellten PN-Generators?

	$G(D) = D^5 + D^2 +1$.
	$G(D) = D^5 + D^3 +1$.
	$G(D) = D^4 + D^2 +D$.

2

Welche Oktalkennung $O_{\rm G}$ hat dieser PN-Generator?

$O_{\rm G} \ =$ $\ \rm (oktal)$

3

Gehen Sie davon aus, dass das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist. Ist die Ausgangsfolge $〈z_ν$ eine M-Sequenz? Wie groß ist deren Periodendauer $P$?

$P\ =$

4

Welche Oktalkennung $O_{\rm R}$ beschreibt das reziproke Polynom $G_{\rm R}(D)$?

$O_{\rm R} \ =$ $\ \rm (oktal)$

5

Welche Aussagen gelten für die Konfiguration mit dem Polynom $G_{\rm R}(D)$?

	Es handelt sich ebenfalls um eine Folge maximaler Länge.
	Die Ausgangsfolge von $G_{\rm R}(D)$ ist die gleiche wie mit dem Generatorpolynom $G(D)$.
	Die Ausgangsfolgen von $G_{\rm R}(D)$ und $G(D)$ sind zueinander invers.
	Beide Folgen zeigen gleiche statistische Eigenschaften.
	Bei $G_{\rm R}(D)$ können alle Speicherelemente mit Nullen vorbelegt sein.

Musterlösung

Musterlösung

1.  Richtig ist D⁵ + D³ + 1  ⇒ Lösungsvorschlag 2. Das Generatorpolynom G(D) kennzeichnet die Rückführungen, die zur Modulo-2-Addition herangezogen werden. D ist ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt. D³ kennzeichnet dann eine Verzögerung um drei Takte.

2.  Es ist g₀ = g₃ = g₅ = 1; alle anderen Rückführungskoeffizienten sind 0. Daraus folgt:

$$(g_{\rm 5}\hspace{0.1cm}g_{\rm 4}\hspace{0.1cm}g_{\rm 3}\hspace{0.1cm}g_{\rm 2}\hspace{0.1cm}g_{\rm 1}\hspace{0.1cm}g_{\rm 0})=\rm (101001)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(51)_{oct}}.$$

3.  Da das Generatorpolynom G(D) primitiv ist, erhält man eine M-Sequenz. Dementsprechend ist die Periodendauer maximal: P = 2^L - 1 = 31. Im Theorieteil ist in der Tabelle mit den PN-Generatoren maximaler Länge (M-Sequenzen) für den Grad 5 die Konfiguration (51)_oct aufgeführt.

4.  Das reziproke Polynom lautet:

$$\it G_R(\it D)=\it D^{\rm 5}\cdot(\it D^{\rm -5}+\it D^{\rm -3}+\rm 1)=\it D^{\rm 5}+\it D^{\rm 2}+\rm 1.$$

Somit ist die Oktalkennung für diese Konfiguration (100101)_bin = (45)_oct.

5.  Die Ausgangsfolge der reziproken Realisierung G_R(D) eines primitiven Polynoms G(D) ist immer ebenfalls eine M-Sequenz. Beide Folgen sind zueinander invers.

Das bedeutet: Die Ausgangsfolge von (45)_oct ist gleich der Folge von (51)_oct, wenn man diese von rechts nach links liest und eine Phase (zyklische Verschiebung) berücksichtigt. Voraussetzung ist wieder, dass nicht alle Speicherzellen mit Nullen vorbelegt sind. Unter dieser Bedingung weisen beide Folgen tatsächlich auch gleiche statistische Eigenschaften auf.

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.