Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER)

Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.

Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor ⇒ $e_\nu = 1$ Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.

Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch: Bit Error Probability). Mit dem Erwartungswert ${\rm E}[ ... ]$ ist diese ist wie folgt definiert: $$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )]=\rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss z. B. bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden. Ist dagegen die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt werden soll), so kann man die obige Gleichung wie folgt vereinfachen: $$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\rm E[\it e_{\nu} \rm ].$$

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate) übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

Diese ist eine relative Häufigkeit, wobei $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.

Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem N gerechnet werden muss.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgröße.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Gerade im Schulbereich wird die „Gaußverteilung” oft als „Normalverteilung” bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt: Eine normalverteilte Zufallsgröße $z$ hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF, jedoch mit Mittelwert $m_z = 0$ und Streuung $\sigma_z = 1$.

Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte p_B = 10⁻³ und N = 10⁵. Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:

$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 3.5.

Fragebogen

	Für n_B sind alle Werte (0, ... , N) gleichwahrscheinlich.
	Die Zufallsgröße n_B ist binomialverteilt.
	Mit p_B = 10^-3 und N = 10⁵ ergibt sich E[n_B] = 100.

$\sigma_\text{nB}$ =

$*\ 10$

$\sigma_\text{hB}$ =

$*\ 10^{-4}$

	Pr(\|h_B – p_B\| ≤ ε) = 1 – 2 · Q(ε/σ_hB).
	Pr(\|h_B – p_B\| ≤ ε) = 1 – Q(2 · ε/σ_hB).

$p_\epsilon$ =

$\alpha$ =

$N_\text{min}$ =

Musterlösung

1. Die beiden letzten Aussagen stimmen: Bezüglich der Zufallsgröße n_B liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor: Es wird die Summe über N binäre Zufallsgrößen gebildet. Die möglichen Werte von n_B liegen somit zwischen 0 und N. Der lineare Mittelwert ergibt

$$m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$$

2. Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:

$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

3. Mögliche Werte von h_B sind alle ganzzahligen Vielfachen von 1/N, die zwischen 0 und 1 liegen. Für den Mittelwert erhält man:

$$m_{h{\rm B}}=m_{\it n_{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

Die Streuung ergibt sich zu

$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

4. Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt:

$$\rm Pr(\it h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q\Big({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}\Big),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon)=\rm Q\Big(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}\Big),$$

$$\Rightarrow \rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\it \varepsilon}{\it \sigma_{h{\rm B}}}\Big).$$

5. Man erhält mit den Zahlenwerten ε = σ_hB = 10 ^–4:

$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}}\Big)=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

⇒ Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über 10⁵ Symbole, so erhält man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen 0.9 · 10^–3 und 1.1 · 10^–3, wenn p_B = 10^–3 ist.

6. Aus der Beziehung p_ε = 1 – 2 · Q(α) = 0.95 folgt direkt:

$$\alpha=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

7. Es muss α = ε/σ_hB gelten. Mit dem Ergebnis aus b) folgt dann:

$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge \rm 2 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$