Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen

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Man spricht von einer gemischten Zufallsgröße, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.

Die Zufallsgröße Y mit der Verteilungsfunktion F_Y(y) gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_Y(y) erhält man aus F_Y(y) durch Differentiation. Aus dem Sprung bei y = 1 in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein „Dirac” in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).

In der Teilaufgabe (d) soll die differentielle Entropie h(Y) der Zufallsgröße Y ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist: $$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$ In der Teilaufgabe (b) ist die differentielle Entropie h(X) der Zufallsgröße X zu berechnen, deren WDF f_X(x) oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße X eine gemischte Zufallsgröße.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.1 des vorliegenden Buches. Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel 3.2 des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

1

Wie groß ist die WDF–Höhe A von f_X(x) um X = 1?

	A = 0.5/ε,
	A = 0.5/ε + 0.25,
	A = 1/ε.

2

Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene ε–Werte.

$ε = 0.1: h(X)$ =

$ε = 0.01: h(X)$ =

$ε = 0.001: h(X))$ =

3

Welches Ergebnis liefert der Grenzwert ε → 0?

	fX(x) hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
	Die differentielle Energie h(X) ist negativ.
	Der Betrag |h(X)| ist unendlich groß.

4

Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße Y zu?

	Der VTF–Wert an der Stelle y = 1 ist 0.5.
	Y beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil..
	Der diskrete Anteil Y = 1 tritt mit 10% Wahrscheinlichkeit auf.
	Der kontinuierliche Anteil von Y ist gleichverteilt.
	Die differentiellen Entropien von X und Y sind gleich.

Musterlösung

Musterlösung

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