Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs H(f). Das Eingangssignal x(t) ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte N₀ = 10^–10 W/Hz. Somit gilt für die AKF:

$$\varphi _x ( \tau ) = \frac{N_0 }{2} \cdot \delta ( \tau ).$$

Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen den Signalen x(t) und y(t) kann mit K = 0.628 · 10^–12 W und T₀ = 1 ms wie folgt angenähert werden (nur gültig für positive Zeiten):

$$\varphi _{xy} \left( \tau \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 } .$$

Gemessen wird außerdem die AKF φ_y(τ) des Ausgangssignals.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen sowie Leistungsdichtespektrum.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \quad {\rm{(f\ddot{u}r }}\;{\rm{grösse }}\;x{\rm{)}}{\rm{,}}$$

$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$

$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.6 und Kapitel 5.1. Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation (in ω):

$$H( \omega ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,h(t) = \omega _0 \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$

Für negative t-Werte ist dagegen h(t) stets 0.

Fragebogen

	die Funktionen φ_x(τ) und φ_y(τ) bekannt sind,
	die Funktionen φ_x(τ) und φ_xy(τ) bekannt sind,
	die Funktionen φ_xy(τ) und φ_y(τ) bekannt sind.

$h(t = T_0)$ =

$\cdot 10^{-3} 1/s$

$H(f = 0)$ =

$\phi_y(f = 1/(2\pi T_0))$ =

$\cdot 10^{-12}\ W/Hz$

Musterlösung

1. Bei der AKF-Berechnung gehen Phasenbeziehungen verloren. Die zugehörigen Funktionen Φ_x(f) und Φ_y(f) im Spektralbereich sind rein reell, so dass nur der Betrag |H(f)| angegeben werden kann.

Die Aussagen 2 und 3 sind zutreffend, da folgende Gleichungen gelten:

$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$

$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$

2. Bei diracförmiger Eingangs-AKF φ_x(τ) ist die Impulsantwort h(t) formgleich mit der KKF:

$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } .$$

Für t = T₀ ergibt sich der Wert 4.62 · 10^–3 1/s.

3. Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit T₀ = 1/ω₀ und C = N₀/2 · T₀/K:

$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, H( \omega ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\omega T_0 }}.$$

Die Konstante ergibt sich zu C = 0.08. Mit H(f) = 2π · H(ω) folgt daraus:

$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 }.$$

Damit ergibt sich der Gleichsignalübertragungsfaktor zu 0.5.

4. Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:

$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)}}.$$

Dies führt zum Ergebnis:

$${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}fT_0 } \right)^2 }.$$

Bei der angegebenen Frequenz ist Φ_y(f) gegenüber seinem Maximum um die Hälfte abgefallen:

$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$