Hüllkurvendemodulation

1. Modulationsverfahren
2. Amplitudenmodulation und AM–Demodulation
3. Hüllkurvendemodulation

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Funktionsweise bei idealen Bedingungen

Wir gehen zunächst von folgenden Voraussetzungen aus:

• Das Quellensignal $q(t)$ sei gleichsignalfrei und betragsmäßig auf $q_{\rm max}$ begrenzt.
• Die Übertragung basiert auf dem Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger”. Zur einfacheren Darstellung wird die Trägerphase ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit $\mathbf{ϕ_{\rm T} } =$ 0 gesetzt:

$$s(t) = \left(q(t) + A_{\rm T}\right) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

• Der Modulationsgrad sei $m$ ≤ 1. Aus der Definition $m = q_{\rm max}/A_{\rm T}$ folgt somit auch $q(t) + A_{\rm T}$ ≥ 0.
• Der Kanal sei ideal, das heißt, es gibt keine Verzerrungen, keine Dämpfung, keine Laufzeit und keine (Rausch–) Störungen. Mit $H_{\rm K}(f) =$ 1 und $n(t) =$ 0 erhält man somit für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) = a(t) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

• In dieser Gleichung bezeichnet $a(t)$ die Hüllkurve von $r(t)$. Die Phasenfunktion $\mathbf{ϕ}(t)$ ist 0.

Ein Hüllkurvendemodulator detektiert die Hüllkurve $a(t)$ seines Eingangssignals $r(t)$ und gibt diese nach Eliminierung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ als Sinkensignal aus: $$v(t) = a(t) - A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$ Die Entfernung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ kann beispielsweise durch einen Hochpass realisiert werden, der alle Frequenzen bis auf $f =$ 0 ungehindert passieren lässt.

Sind alle obigen Voraussetzungen erfüllt, so gilt $υ(t) = q(t)$. Das bedeutet, dass mit einem (idealen) Hüllkurvendemodulator durchaus ein ideales Nachrichtenübertragungssystem realisiert werden kann.

Unten sehen Sie das Empfangssignal $r(t) = s(t)$, wobei „ZSB–AM mit Träger” zugrunde liegt (Modulationsgrad $m =$ 0.5). Die vom Hüllkurvendemodulator auszuwertende Hüllkurve $a(t)$ ist gleich der Summe aus dem Quellensignal $q(t)$ und dem beim Sender zugesetzten Gleichanteil $A_{\rm T}$.

Für das Demodulatorausgangssignal nach Eliminierung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ mit einem Hochpass gilt $υ(t) = q(t)$, vorausgesetzt, dass das Quellensignal $q(t)$ keinen Gleichanteil beinhaltet hat. Ein solcher würde durch den Hochpass ebenfalls entfernt.

Realisierung eines Hüllkurvendemodulators (1)

Die nebenstehende Schaltung zeigt eine einfache Realisierungsmöglichkeit des Hüllkurvendemodulators.

Darunter sehen Sie die Signale $r(t)$ und $w(t)$ zur Verdeutlichung des Prinzips.

Betrachten Sie zunächst den mit $T = T_{\rm opt}$ bezeichneten mittleren Signalausschnitt.

Der erste Schaltungsteil – bestehend aus einer Diode und der Parallelschaltung eines Widerstands $R$ und einer Kapazität $C$ – erfüllt folgende Aufgaben:

• Ist das grau gezeichnete Signal $r(t)$ größer als die Spannung $w(t)$ an $R$ und $C$, so leitet die Diode, es gilt $w(t) = r(t)$ und die Kapazität $C$ wird aufgeladen. Diese Bereiche sind grün markiert.
• Gilt $r(t) < w(t)$ wie zu den violett markierten Zeiten, so sperrt die Diode und die Kapazität entlädt sich über den Widerstand $R$. Das Signal fällt exponentiell mit der Zeitkonstanten $T = R · C$ ab.
• Ab den mit Kreisen markierten Zeitpunkten gilt wieder $r(t) > w(t)$ und die Kapazität wird wieder aufgeladen. Man erkennt aus der Skizze, dass $w(t)$ in etwa mit der Hüllkurve $a(t)$ übereinstimmt.
• Die Abweichungen zwischen $w(t)$ und $a(t)$ sind um so geringer, je größer die Trägerfrequenz im Vergleich zur Nachrichtenfrequenz ist. Als Richtwert wird oft $f_{\rm T} ≥ 100 · B_{\rm NF}$ angegeben.
• Gleichzeitig sollte die Zeitkonstante $T$ stets sehr viel größer als $1/f_{\rm T}$ und sehr viel kleiner als $1/B_{\rm NF}$ sein. Ein guter Kompromiss ist das geometrische Mittel zwischen beiden Grenzen:

$$1/f_{\rm T}\hspace{0.1cm} \ll \hspace{0.1cm} T \hspace{0.1cm} \ll \hspace{0.1cm} 1/B_{\rm NF} \hspace{0.05cm}, \hspace{2cm} T_{\rm opt} = {1}/{\sqrt{f_{\rm T} \cdot B_{\rm NF}}} \hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Zeitkonstante $T$ zu klein wie im linken Bereich obiger Skizze, so wird der Kondensator stets zu schnell entladen und die Differenz $w(t) \ – \ a(t)$ unnötig groß.
• Auch ein zu großer Wert $T > T_{\rm opt}$ führt zu einer Verschlechterung, wie im rechten Signalausschnitt dargestellt. In diesem Fall kann $w(t)$ der Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr folgen.

Bei einer NF–Bandbreite von 5 kHz sollte die Trägerfrequenz mindestens 500 kHz gewählt werden. Die Zeitkonstante $T$ muss sehr viel größer als $1/f_{\rm T} =$ 2 μs und gleichzeitig sehr viel kleiner als $1/B_{\rm NF} =$ 200 μs sein. Der optimale Wert entsprechend der Kompromissformel ist dann: $$T_{\rm opt} = {1}/{\sqrt{5 \cdot 10^5 \, {\rm Hz}\cdot 5 \cdot 10^3 \, {\rm Hz}}} = 20 \, \mu s \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung eines Hüllkurvendemodulators (2)

Die folgende Grafik verdeutlicht die Wirkungsweise des Hüllkurvendemodulators im Frequenzbereich:

Das Spektrum $W(f)$ des Signals $w(t)$ an der $RC$–Parallelschaltung unterscheidet sich vom Spektrum $Q(f)$ des Quellensignals wie folgt:

• Aufgrund des beim Sender zugesetzten Trägersignals $z(t)$ beinhaltet die Spektralfunktion $W(f)$ eine Diraclinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht $A_{\rm T}$ (Trägeramplitude).
• $W(f)$ weist zudem auch Spektralanteile im Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ auf, die sich mit dem gezackten Zeitverlauf $w(t)$ erklären lassen (siehe Grafik im letzten Abschnitt).
• Auch im NF–Bereich unterscheidet sich $W(f)$ gegenüber $Q(f)$ geringfügig. Der Fehler wird dabei um so geringer sein, je größer die Trägerfrequenz im Vergleich zur NF-Bandbreite ist.

Während die zwei erstgenannten Signalverfälschungen durch den Hochpass und den Tiefpass eliminiert werden, bleibt die geringfügige Abweichung zwischen dem Sinkensignal $υ(t)$ und dem Quellensignal $q(t)$ im Bereich 0 $< f < B_{\rm NF}$ erhalten, wie aus dem Vergleich von $V(f)$ und $Q(f)$ hervorgeht.

Anwendung der Hüllkurvendemodulation bei $m > 1$

Die nachfolgende Grafik zeigt die ZSB–AM–Signale für $m =$ 0.5 und $m =$ 2.

Aus dieser Darstellung erkennt man folgende Unterschiede:

• Solange der Modulationsgrad $m$ ≤ 1 ist, gilt für die Hüllkurve des Bandpass–Signals:

$$a(t) = q(t) + A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$

Hier ist mit dem Hüllkurvendemodulator eine ideale Demodulation möglich: $υ(t) = q(t)$.

• Dagegen gilt bei $m$ > 1 folgender Zusammenhang:

$$a(t) = | q(t) + A_{\rm T}|\hspace{0.05cm}.$$

Hier führt die Hüllkurvendemodulation stets zu nichtlinearen Verzerrungen. Das Sinkensignal $υ(t)$ wird nun auch neue Frequenzen beinhalten, die in $q(t)$ nicht vorhanden waren.

• Für den Gleichanteil (Erwartungswert) der Hüllkurve gilt:

$${\rm E}[a(t)] \ne A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$

Da nun dieser Gleichanteil ${\rm E}[a(t)]$ anstelle von $A_{\rm T}$ durch den Hochpass entfernt wird, kommt es zusätzlich zu einer Pegelverschiebung.

Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten TP–Signals

Insbesondere dann, wenn das Quellensignal $q(t)$ als Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden kann, ist eine Signalbeschreibung mit dem äquivalenten TP–Signal $|r_{\rm TP}(t)|$ äußerst vorteilhaft. Dieses wurde im Kapitel 4.3 des Buches Signaldarstellung ausführlich beschrieben.

Lässt man Rauschen/Störungen außer Betracht, so kann für das Empfangssignal geschrieben werden: $$r(t) = a(t) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t + {\mathbf\phi}(t))\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gilt für jede Form der Amplitudenmodulation bei unterschiedlichen Randbedingungen:

• Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB),
• mit oder ohne Träger,
• idealer Kanal oder linear verzerrender Kanal.

Das dazugehörige äquivalente TP–Signal ist im allgemeinen Fall komplex und lautet: $$r_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$

Die in den Gleichungen enthaltenen Zeitfunktionen $a(t)$ und $\mathbf{ϕ}(t)$ sind bei beiden Darstellungen identisch:

• $a(t)$ beschreibt die Hüllkurve (zeitabhängige Amplitude) des physikalischen Signals $r(t)$ bzw. den Betrag $|r_{\rm TP}(t)|$ des äquivalenten TP–Signals. Dieser wird bei Hüllkurvendemodulation detektiert.
• $\mathbf{ϕ}(t)$ ist die zeitabhängige Phase. Diese Funktion beinhaltet alle Informationen über die Lage der Nulldurchgänge von $r(t)$ und gibt an, ob eine zusätzliche Phasenmodulation wirksam ist.

Im Fall der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation gilt bei idealem Kanal:

• Die Ortskurve – darunter versteht man die zeitabhängige Darstellung des Signals $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene – ist eine horizontale Gerade auf der reellen Achse.
• Daraus folgt weiter, dass die Phasenfunktion nur die zwei Werte 0 und π (180°) annehmen kann. Bei $m$ ≤ 1 ist ${\mathbf ϕ}(t) ≡$ 0 und die Hüllkurvendemodulation ist verzerrungsfrei anwendbar.
• Dagegen liegt bei einem Modulationsgrad $m$ > 1 ein Teil der Ortskurve in der linken Halbebene, und es kommt es bei Anwendung der Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen.

Das Quellensignal $q(t)$ kann alle Werte zwischen ±1 V annehmen. Durch Zusetzen eines Gleichanteils von $A_{\rm T} =$ 2 V ergibt sich eine ZSB–AM mit dem Modulationsgrad $m =$ 0.5, deren Ortskurve in der linken Grafik zu sehen ist. Zu allen Zeiten liegt $r_{\rm TP}(t)$ in der rechten Halbebene und die Zeigerlänge verändert sich entsprechend dem Nachrichtensignal $q(t)$.

Die rechte Grafik beschreibt die Ortskurve für $A_{\rm T} =$ 0.5 V bzw. $m =$ 2. Nun kann $r_{\rm TP}(t)$ alle reellen Werte zwischen –0.5 V und 1.5 V annehmen. Da der Hüllkurvendemodulator jedoch nicht zwischen positiven und negativen Werten unterscheiden kann, kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen.

Die entsprechenden physikalischen Signale $q(t), r(t)$ sowie $υ(t)$ zu diesem Beispiel finden Sie in der Grafik im dritten Abschnitt dieses Kapitels.

Sonderfall eines cosinusförmigen Nachrichtensignals

Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen aufgrund eines Modulationsgrades größer 1 gehen wir nun von folgendem Szenario aus:

• cosinusförmiges Quellensignal:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t);$$

• ZSB–AM mit Träger:

$$s(t) = \left ( q(t) + A_{\rm T} \right ) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}t),$$ $$r(t) = s(t);$$

• Modulationsgrad:

$$m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 1.25;$$

• ideale Hüllkurvendemodulation:

$$a(t) = | q(t) + A_{\rm T}|; $$

• Eliminierung des Gleichanteils durch Tiefpass:

$$r(t) = a(t) - {\rm E}[a(t)]|.$$

Die Grafiken zeigen die Signale $q(t), r(t), a(t), υ(t)$ sowie das Fehlersignal $ε(t) = υ(t) \ – \ q(t)$ aufgrund von nichtlinearen Verzerrungen für die Signalparameter $A_{\rm N} =$ 5 V, $f_{\rm N} =$ 2 kHz, $A_{\rm T} =$ 4 V und $f_{\rm T} =$ 100 kHz. Anhand der Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Ein Vergleich der Signale $q(t)$ und $a(t)$ zeigt, dass im vorliegenden Beispiel zu etwa 80% aller Zeiten die Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$ richtig wiedergibt.
• Das Sinkensignal $υ(t)$ unterscheidet sich von der Hüllkurve $a(t)$ durch dessen Erwartungswert ${\rm Ε}[a(t)]$, der durch den Tiefpass des Hüllkurvendemodulators entfernt wird.
• Da ${\rm Ε}[a(t)] =$ 4.27 V nicht mit $A_{\rm T} =$ 4 V übereinstimmt, unterscheidet sich $υ(t)$ von $q(t)$ auch in den Bereichen, in denen $a(t)$ richtig detektiert wird, und zwar um den konstanten Wert 0.27 V.
• Aus dem cosinusförmigen Quellensignal wird ein Signal $υ(t)$ mit Oberwellen:

$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} t )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} t )+ ...$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} = 4.48\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.46\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 3} = -0.37\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 4} = 0.26\,{\rm V},\hspace{0.1cm}...$$

• Damit erhält man für die einzelnen Klirrfaktoren sowie den Gesamtklirrfaktor:

$$K_2 ={|A_{\rm 2}|}/{A_{\rm 1}} = 0.102,\hspace{0.3cm}K_3 = {|A_{\rm 3}|}/{A_{\rm 1}} = 0.082,\hspace{0.3cm}K_4 = {|A_{\rm 4}|}/{A_{\rm 1}} = 0.058,\hspace{0.1cm}...$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 + ... } \approx 15 \%.$$

• Im Kapitel 1.2 wurde gezeigt, dass damit auch das SNR $ρ_υ = 1/K^2$ ≈ 44 festliegt. $ρ_υ$ kann im Gegensatz zum Klirrfaktor $K$ auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn $q(t)$ mehr als eine Frequenz beinhaltet ⇒ Herleitung im Buch Lineare zeitinvariante Systeme.

Berücksichtigung von Kanalverzerrungen (1)

Für die folgenden Betrachtungen setzen wir das Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” sowie ein cosinusförmiges Quellensignal $q(t)$ voraus. Die Amplituden von Nachrichten– und Trägersignal seien $A_{\rm N} =$ 4 V und $A_{\rm T} =$ 5 V ⇒ Modulationsgrad $m =$ 0.8. Damit ist (ideale) Hüllkurvendemodulation prinzipiell anwendbar.

Die nachfolgende Grafik zeigt von oben nach unten

• die Spektren $S_{\rm TP}(f)$ und $R_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals, die als reell angenommen werden,
• die äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm TP}(t)$ und $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene, und schließlich
• die physikalischen Signale $s(t)$ und $r(t)$.

• Die linke Bildhälfte zeigt die Senderseite und gibt gleichzeitig die Verhältnisse am Empfänger bei idealem Kanal an. Wegen des Modulationsgrades $m$ ≤ 1 erkennt man in der Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$. Hüllkurvendemodulation ist also ohne Verzerrungen anwendbar.
• Die rechte Hälfte berücksichtigt unsymmetrische Kanalverzerrungen. Der Träger wird mit $α_{\rm T} =$ 0.8 gedämpft, das obere Seitenband sogar mit $α_{\rm O} =$ 0.5. Nun verläuft die Hüllkurve $a(t) ≠ q(t) + A_{\rm T}$ nicht mehr cosinusförmig ⇒ Hüllkurvendemodulation führt hier zu nichtlinearen Verzerrungen.

Die detaillierten Bildbeschreibungen folgen in den nächsten beiden Abschnitten.

Berücksichtigung von Kanalverzerrungen (2)

Es gelte weiterhin $A_{\rm N} =$ 4 V und $A_{\rm T} =$ 5 V ⇒ Modulationsgrad $m =$ 0.8. Die Grafik verdeutlicht den Einsatz eines idealen Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal, wobei die Identitäten $$R_{\rm TP}(f) = S_{\rm TP}(f) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} r_{\rm TP}(t) = s_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} r(t) = s(t) \hspace{0.05cm}.$$ berücksichtigt sind.

Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Der den Träger beschreibende rote Zeiger der Länge $A_{\rm T}$ liegt fest. Das obere Seitenband (blau) dreht in mathematisch positiver Richtung, das untere Seitenband (grün) entgegengesetzt.
• Da der blaue und der grüne Zeiger beide mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit $ω_{\rm N}$ drehen, aber in entgegengesetzte Richtungen, ist die vektorielle Summe aller Zeiger zu allen Zeiten reell.
• Ist der Modulationsgrad $m$ ≤ 1, so gilt für alle Zeiten $r_{\rm TP}(t)$ ≥ 0 und $\mathbf{ϕ}(t) =$ 0. Das bedeutet, dass die Nulldurchgänge von $r(t)$ genau mit denen des Trägersignals $z(t)$ übereinstimmen.
• Die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $r(t)$ ist gleich der resultierenden Zeigerlänge, also gleich dem Betrag von $r_{\rm TP}(t)$. Da der Modulationsgrad kleiner 1 ist, gilt $a(t) = q(t) + A_{\rm T}$.
• Bei den gegebenen Amplitudenwerten liegt die Ortskurve $r_{\rm TP}(t)$ auf der reellen Achse zwischen den Endpunkten $A_{\rm T} \ – \ A_{\rm N} =$ 1 V und $A_{\rm T} + A_{\rm N} =$ 9 V.
• Die Ortskurve auf der reellen Achse in der rechten Halbebene ist ein Indiz dafür, dass durch einen Hüllkurvendemodulator das Nachrichtensignal verzerrungsfrei extrahiert werden kann.

Berücksichtigung von Kanalverzerrungen (3)

Betrachten wir nun die gleichen Grafiken für den verzerrenden Kanal mit $α_{\rm U} =$ 1, $α_{\rm T} =$ 0.8 und $α_{\rm U} =$ 0.5. Das USB wird hier nicht verändert, während der Träger und noch mehr das OSB gedämpft werden.

Diese Grafiken lassen sich wie folgt interpretieren:

• Aufgrund der unterschiedlichen Längen von grünem Zeiger (USB) und blauem Zeiger (OSB) wird die Ortskurve zu einer Ellipse, deren Zentrum durch den (roten) Träger festliegt.
• Der Winkel zwischen dem komplexwertigen $r_{\rm TP}(t)$ und dem Koordinatenursprung ist nun nicht mehr durchgängig $\mathbf{ϕ}(t) =$ 0, sondern schwankt zwischen $±{\mathbf ϕ}_{\rm max}.$
• Die maximale Phase ist gleich dem Winkel der Tangente an die Ellipse. Im physikalischen Signal führt ${\mathbf ϕ}(t) ≠$ 0 zu Verschiebungen der Nulldurchgänge von $r(t)$ gegenüber dem Trägersignal $z(t)$.
• Der Betrag $a(t) = |r_{\rm TP}(t)|$ – also die Hüllkurve von $r(t)$ – ist nun nicht mehr cosinusförmig, und das Signal nach dem Hüllkurvendemodulator beinhaltet außer der Frequenz $f_{\rm N}$ auch Oberwellen:

$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N}\cdot t )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )+ ...$$

• Diese führen zu nichtlinearen Verzerrungen und werden durch den Klirrfaktor $K$ erfasst. Mit $A_{\rm N} =$ 4 V, $A_{\rm T} =$ 5 V, $α_{\rm U} =$ 1 und $α_{\rm T} =$ 0.8 ergeben sich in Abhängigkeit von $α_{\rm O}$ folgende Werte:

$α_{\rm O} = 1$ (verzerrungsfreier Kanal): $K = 0$

$α_{\rm O} = 0.75 : K ≈ 0.4%$ $\hspace{1cm} α_{\rm O} = 0.5 : K ≈ 1.5% ,$ $\hspace{1cm} α_{\rm O} = 0.25 : K ≈ 4%,$

$α_{\rm O} = 0$ (vollständige Unterdrückung des OSB): $K = 10%.$

Obige Grafiken gelten für $α_{\rm O} =$ 0.5. Es ist allerdings schwierig, im Signal $r(t)$ die Verschiebungen der Nulldurchgänge (um maximal 25°/360° ≈ 7% der Trägerperiode $T_0$) sowie die Abweichung von der idealen Cosinusform ⇒ $K$ ≈ 1.5% mit dem bloßen Auge zu erkennen.

Symmetrische Kanalverzerrungen – Dämpfungsverzerrungen

Ein wesentliches Ergebnis des letzten Abschnitts war, dass es bei unsymmetrischen linearen Verzerrungen auf dem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen bezüglich des Nachrichtensignals kommt. Wird dagegen das untere Seitenband in gleicher Weise gedämpft wie das obere Seitenband, so ist die Ortskurve wieder eine horizontale Gerade und es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen. Vielmehr sind dann die Verzerrungen bezüglich $q(t)$ und $υ(t)$ – ebenso wie die Verzerrungen bezüglich $s(t)$ und $r(t)$ – linear und können durch ein geeignet dimensioniertes Filter entzerrt werden.

Wir gehen hier von folgenden Voraussetzungen aus:

• Quellensignal $q(t)$ – bestehend aus zwei Cosinusanteilen bei den Frequenzen $f_1$ und $f_2$ mit den Amplituden $A_1$ und $A_2$.
• ZSB–AM mit Träger, so dass sich das Sendesignal $s(t)$ aus insgesamt fünf Cosinusschwingungen bei den Frequenzen $f_{\rm T}, f_{\rm T} ± f_1$ und $f_{\rm T} ± f_2$ zusammensetzt.
• Kanal mit Dämpfungsverzerrungen, symmetrisch um die Trägerfrequenz:

$$H_{\rm K} (f = f_{\rm T})= \alpha_0, \hspace{0.3cm} H_{\rm K} (f = \pm f_{\rm 1})= \alpha_1, \hspace{0.3cm}H_{\rm K} (f = \pm f_{\rm 2})= \alpha_2.$$

• Idealer Hüllkurvendemodulator gemäß der Beschreibung in diesem Abschnitt.

Die Grafik zeigt die Spektralfunktionen der äquivalenten TP–Signale von Sende– und Empfangssignal. Anhand dieses Bildes sind folgende Aussagen möglich:

• Das äquivalente TP–Signal $r_{\rm TP}(t)$ ist reell. Die Ortskurve – also die Spitze des Zeigerverbundes in der komplexen Ebene – liegt auch hier wieder auf der reellen Achse.
• Ist $α_0 · A_{\rm T}$ größer als $α_1 · A_1 + α_2 · A_2,$ so ist der „Modulationsgrad des Empfangssignals” kleiner als 1 und es kommt zu keinen nichtlinearen Verzerrungen.
• Das Sinkensignal nach idealer Hüllkurvendemodulation und Eliminierung des Gleichanteils $α_0 · A_{\rm T}$ durch den nachgeschalteten Hochpass lautet:

$$v(t) = \alpha_1 \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) + \alpha_2 \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 2} t ) \hspace{0.05cm}.$$

• Das bedeutet: Es kommt zu linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen), falls $α_2 ≠ α_1$ ist. Wäre die Symmetrie bezüglich $f_{\rm T}$ nicht gegeben, so würden nichtlineare Verzerrungen entstehen.

Wir verweisen auf das 3–teilige Lernvideo

Lineare und nichtlineare Verzerrungen (Dauer 16:25).

Einfluss von Rauschstörungen

Ausgehend von der Systemkonfiguration

• ZSB–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad $m$ ≤ 1 sowie
• bestmöglich angepasste Hüllkurvendemodulation

wird nun der Einfluss von additiven Störungen – z.B. Rauschen – abgeschätzt. Verzerrungen jeglicher Art – beispielsweise bedingt durch einen nichtidealen Kanal oder die nichtperfekte Realisierung von Modulator und Demodulator – werden ausgeschlossen.

Die nebenstehende Grafik zeigt den Sinkenstörabstand 10 · lg $ρ_υ$ bei unterschiedlichem Modulationsgrad $m$ in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße $$10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \xi = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \hspace{0.05cm}.$$

Das Ergebnis des Hüllkurvendemodulators (HKD) ist mit durchgezogenen Linien markiert, während die gestrichelten Geraden den Synchrondemodulator (SD) kennzeichnen.

Wie bereits in Kapitel 2.2 hergeleitet wurde, ergeben sich für den Synchrondemodulator in dieser doppelt–logarithmischen Darstellung die Winkelhalbierende (für $m → ∞$, ZSB–AM ohne Träger) bzw. hierzu parallel verschobene Gerade mit vertikalem Abstand 10 · lg (1 + 2/ $m^2$).

Bei Anwendung von Hüllkurvendemodulation sind folgende Unterschiede festzustellen:

• HKD ist für $m$ > 1 nicht sinnvoll, da dadurch starke nichtlineare Verzerrungen entstehen würden.
• Die durchgehend gezeichneten Kurven für den HKD liegen stets unterhalb der für den SD gültigen gestrichelten Geraden, wenn man vom gleichen Modulationsgrad $m$ ausgeht.
• Ab einem gewissen Wert der Leistungskenngröße $ξ$ sind die HKD–Kurven von den SD–Geraden innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht mehr zu unterscheiden.

Mehr Informationen zu dieser Thematik finden Sie beispielsweise in [Kam 04].

Argumente für und gegen den Hüllkurvendemodulator

Der wichtigste Grund für die Verwendung des Hüllkurvendemodulators ist, dass damit die oft aufwändige Frequenz– und Phasensynchronisation vermieden wird, so dass ein solcher preisgünstig realisiert werden kann. Der Hüllkurvendemodulator ist somit ein Beispiel eines inkohärenten Demodulators.

Für den Synchrondemodulator – siehe Kapitel 2.2 – und gegen den Hüllkurvendemodulator können dagegen mehrere Gründe angeführt werden:

• Bei Hüllkurvendemodulation muss eine Übermodulation $(m$ > 1) unter allen Umständen vermieden werden. Dies erreicht man beispielsweise durch die Amplitudenbegrenzung des Quellensignals, was aber ebenfalls nichtlineare Verzerrungen zur Folge hat.
• Bei sonst gleichen Randbedingungen ist ein Modulationsgrad $m$ < 1 nur durch die Erhöhung der Sendeleistung um mindestens den Faktor 3 zu erreichen. Dies ist auch wegen der berechtigten Diskussionen zum Thema „Elektro-Smog” in großen Teilen unserer Gesellschaft problematisch.
• Lineare Kanalverzerrungen können bei einem Hüllkurvendemodulator zu irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen führen, während die bei Synchrondemodulation entstehenden linearen Verzerrungen möglicherweise durch besondere Maßnahmen beim Empfänger kompensiert werden können.