Aufgabe 2.6: Freiraumdämpfung
Ein gemäß dem Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” betriebener Kurzwellensender arbeitet mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 20 \ \rm MHz$ und der Sendeleistung $P_{\rm S} = 100\ \rm kW$. Er ist für eine Bandbreite von $B_{\rm NF} = 8 \ \rm kHz$ ausgelegt.
Zum Testbetrieb wird ein mobiler Empfänger eingesetzt, der mit einem Synchrondemodulator arbeitet. Befindet sich dieser in der Distanz $d$ zum Sender, so kann die Dämpfungsfunktion des Übertragungskanals wie folgt angenähert werden:
- $$\frac{a_{\rm K}(d, f)}{\rm dB} = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{d}{\rm km} + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{f}{\rm MHz} \hspace{0.05cm}.$$
Die Gleichung beschreibt die so genannte Freiraumdämpfung, die auch von der (Träger-)Frequenz abhängt.
Es kann davon ausgegangen werden, dass das gesamte ZSB–AM–Spektrum wie die Trägerfrequenz gedämpft wird. Das bedeutet, dass
- die etwas größere Dämpfung des oberen Seitenbandes (OSB), bzw.
- die geringfügig kleinere Dämpfung des des unteren Seitenbandes (USB)
durch eine entsprechende Vorverzerrung beim Sender ausgeglichen wird.
Die am Empfänger wirksame Rauschleistungsdichte sei $N_0 = 10^{–14} \ \rm W/Hz.$
Für die beiden ersten Teilaufgaben wird vorausgesetzt, dass der Sender nur den Träger überträgt, was gleichbedeutend dafür ist, dass der Modulationsgrad $m = 0$ ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Sinken-SNR und Leistungskenngröße.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
2. Aus $P_S = 10^5 W$, $P_E = 10^–4 W$ folgt eine Freiraumdämpfung von 90 dB. Daraus erhält man weiter:
$$20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}[[:Vorlage:\rm km]] = ( 90-34 - 26)\hspace{0.1cm}{\rm dB}= 30\,{\rm dB}\hspace{5cm}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 10^{1.5}\,{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline { = 31.6\,{\rm km}\hspace{0.05cm}}.$$
3. Bei ZSB–AM ohne Träger, das heißt für den Modulationsgrad m → ∞, würde gelten:
$$ \rho_{v } = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}} = \frac{ P_{\rm E}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-4}\,{\rm W}}{10^{-14}\,{\rm W/Hz}\cdot 8 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} } = 1.25 \cdot 10^6$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \approx 61\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Mit dem Modulationsgrad m = 0.5 wird das Sinken–SNR um den Faktor
$$\frac{1}{1 +{2}/{m^2}} = {1}/{9}$$
kleiner. Der Sinken–Störabstand ist somit ebenfalls geringer:
$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } = 61\,{\rm dB}- 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(9) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 51.5\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}}.$$
4. Entsprechend den Berechnungen zur Teilaufgabe c) muss nun folgende Bedingung erfüllt sein:
$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\left({1 + {2}/{m^2}}\right) < 1\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 +{2}/{m^2} < 10^{0.1}=1.259$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{2}/{m^2} < 0.259 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m > \sqrt{8}\approx 2.83 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.83} \hspace{0.05cm}.$$
5. Bei Verwendung eines Synchrondemodulators macht die Zusetzung des Trägers keinen Sinn, außer dass dieser für die erforderliche Trägerrückgewinnung nützlich sein könnte. Da der Träger zur Demodulation nicht genutzt werden kann, steht nur ein Bruchteil der Sendeleistung für die Demodulation zur Verfügung (m = 1: ein Drittel, m = 0.5: ein Neuntel). Richtig sind also die Vorschläge 1 und 3.
