Aufgabe 2.6Z: Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis
Wir gehen von folgenden Voraussetzungen aus:
- ein cosinusförmiges Quellensignal:
- $$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
- ZSB–AM durch Multiplikation mit
- $$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
- eine frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend $α_{\ rm K} = 10^{–4}$,
- additives weißes Eingangsrauschen mit Rauschleistungsdichte $N_0 = 4 · 10^{–19} \ \rm W/Hz$,
- phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem $z(t)$ wie oben,
- ein rechteckförmiger Tiefpass beim Synchrondemodulator mit Grenzfrequenz $f_{\rm E} = 5 \ \rm kHz$.
In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ der Cosinusschwingung $z(t)$ ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ sich aus zwei Diraclinien bei $±f_{\rm T}$ zusammensetzt, aber mit dem Gewicht $A^2/4$ anstelle von $A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe $A=1$ zu setzen.
Das Sinkensignal $υ(t)$ setzt sich aus dem Nutzanteil $α · q(t)$ und dem Rauschanteil $ε(t)$ zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
- $$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit SNR (englisch: Signal–to–Noise–Ratio) abgekürzt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Berechnung der Rauschleistung sowie Zusammenhang zwischen Pq und PS.
- Beachten Sie bitte auch, dass die Größen $α$ und $α_{\ rm K}$ nicht unbedingt gleich sein müssen.
- Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe (1) beziehen sich auf den Widerstand $50 \ \rm Ω$.
- $P_q$ gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung $P_{\ rm S}$ an.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
2. Nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik gilt:
$$P_q = \frac{8\,{\rm V^2}}{50\,{\Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.16\,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
3. Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen $υ(t) = q(t)$ gilt. Wegen der Amplitude 1 des empfängerseitigen Trägersignals (anstelle von 2) gilt hier $υ(t) = q(t)/2$. Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung $α_K = 10^–4$, so erhält man das Ergebnis $α = 0.5 · 10^–4$.
4.Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des Produktes $n(t) · z(t)$ ergibt sich aus der Faltung der beiden Leistungsdichtespektren von $n(t)$ und $z(t)$:
$$ {\it \Phi}_\varepsilon '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z }(f)= \frac{N_0}{2} \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]= N_0 \hspace{0.05cm}.$$
Für das Leistungsdichtespektrum des Signals ε(t) nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei $f = 0$:
$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$
5.Die Rauschleistung ist das Integral über die Rauschleistungsdichte: $$ P_{\varepsilon} = \int\limits_{-f_{\rm E}}^{ + f_{\rm E}} {{\it \Phi}_\varepsilon (f)}\hspace{0.1cm}{\rm d}f = N_0 \cdot 2 f_{\rm E} = 4 \cdot 10^{-19}\,\frac{ W}{ Hz} \cdot 10^{4}\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$
6. Aus den Ergebnissen der Teilaufgaben b), c) und e) folgt: $$\rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{(0.5 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 0.16\,{\rm W}}{4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}} \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{5}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
