Aufgabe 3.6: PM oder FM? Oder AM?

Zwei Ortskurven für Winkelmodulation

Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

angelegt, wobei die Signalamplitude stets $A_{\rm N} = 2\ \rm V$ beträgt.

Mit der Signalfrequenz $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$ wird die Ortskurve $\rm O_1$ ermittelt.
Verwendet man die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_2$, so stellt sich die Ortskurve $\rm O_2$ ein.

Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex $η$ und der Modulatorkonstanten $K_{ßrm WM}$ besteht:

$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	AM–Modulator.
	PM–Modulator.
	FM–Modulator.

$η_1 \ = \ $

$K_{\rm WM} \ = \ $

$10^{4}$ $\ \cdot 10^4 \ \rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\cdot 10^4 \ \rm (Vs)^{-1}$ (bei FM)

$ϕ_0 \ = \ $

$\ \rm Grad$

$f_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

Musterlösung

1. Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex $η$. Da aber hier $η$ offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz $f_N$ abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden ⇒ FM–$\underline{Modulator}$ ⇒ $\underline{Antwort 3}$.

2.Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden. Es gilt $η_1 = 75°/180° · π ≈ 1.3$.

3. Bei Frequenzmodulation gilt: $$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$ 4. Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird. Dieses lautet: $$q_{\rm I}(t) = \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =$$ $$ = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$ Somit ergibt sich für das äquivalente TP-Signal mit $ϕ_N = 30°$: $$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$ Der Nullphasenwinkel ist somit gleich $η/2$ entsprechend $37.5°$.

5. Aus der Definition des Modulationsindex bei FM folgt: $$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$