Aufgabe 3.10: Berechnung der Rauschleistungen

Rauschleistungsdichten von PM und FM

Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz $f_{\rm N}$. Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$ und der Modulationsindex (Phasenhub) sei $η = 5$.

Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$ ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} }(f) = {\it \Phi}_0$, die auch vom Modulationsindex abhängt:

$${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$

Für die Berechnung der Rauschleistung $P_{\rm R}$ ist lediglich der Frequenzbereich von $±f_{\rm N}$ relevant (siehe Grafik).

Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub $Δf_{\rm A}$:

$${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$

Gegeben ist der Rauschabstand $10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$ für Phasenmodulation und $f_N = 5 kHz$.
Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$) sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Rauscheinfluss bei Winkelmodulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

1. Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (Sinken–SNR) ρυ ist der Quotient aus der Nutzleistung $P_S$ und der Rauschleistung $P_R$. Speziell bei der Phasenmodulation gilt: $$ \rho_{v } = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm R}} = \frac{P_{\rm S}}{{\it \Phi}_0 \cdot 2 f_{\rm N} } =\frac{\eta^2}{2} \cdot \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} }\hspace{0.05cm}.$$ Die Messung mit $f_N = f_5 = 5 kHz$ hat das SNR $ρ_υ = 105$ (entsprechend $50 dB$) ergeben. Die doppelte Nachrichtenfrequenz führt zum halben SNR, da nun die doppelte Rauschleistung wirksam ist: $$ \rho_{v }= 0.5 \cdot 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 46.99\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ Dieses Ergebnis lässt sich auch über die Beziehung $ρ_υ = η^2/2 · ξ$ herleiten. Bei PM ist η unabhängig von der Nachrichtenfrequenz. Der SNR–Verlust geht darauf zurück, dass nun $ξ = P_S/(N_0 · f_N)$ halbiert wird.

2. Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz $f_N = 5 kHz$ erhält man für die Rauschleist $$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$ Unter Berücksichtigung von $Δf_A = η · f_N$ (Frequenzhub) ergibt sich somit: $$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$ Das heißt: Die Frequenzmodulation ist um den Faktor 3 (oder 4.77 dB) besser als die PM: $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend dem Ergebnis aus b) erhält man mit $f_{10} = 10 kHz$: $$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$ Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems (Phasenmodulation, $f_N = f_5$) an, die zum Ergebnis $10 · lg ρ_υ = 50 dB$ geführt hat.

Bei FM ist nun jedoch der Modulationsindex umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient $η_5^2/η_{10}^2 = 4$ ist. Somit ergibt sich für den Vorfaktor 8/3. Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner: $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ Bei gleicher Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$ ist nun die FM um 1.25 dB schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von η – nach Quadrierung der Faktor 4 – stärker auswirkt als der systembedingte Faktor 3, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.

Der Vergleich der Teilaufgaben b) und c) zeigt einen Unterschied um den Faktor 8 bzw. 9.03 dB. Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$ ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor 4 – und die doppelte Rauschbandbreite.