Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading
Man spricht dann von Rice–Fading, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor $z(t)$ neben der rein stochastischen Komponente $x(t) + j \cdot y(t)$ zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form $x_0 + j \cdot y_0$ aufweist. Die Gleichungen des Rice–Fadings lassen sich in aller Kürze wie folgt zusammenfassen:
- $$r(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} z(t) \cdot s(t)\hspace{0.05cm},\\$$
- $$z(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} x(t) + {\rm j} \cdot y(t)\hspace{0.05cm},\\$$
- $$x(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} u(t) + x_0 \hspace{0.05cm},\\$$
- $$y(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} v(t) + y_0\hspace{0.05cm}.$$
Dabei gilt:
- Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante $z_0 = x_0 + j \cdot y_0$ beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
- $$|z_0| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\hspace{0.05cm}.$$
- $u(t)$ und $\upsilon(t)$ sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz $\sigma^2$ und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu–, Brechungs– und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
- Der Betrag $a(t) = |z(t)|$ besitzt eine Rice–WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF–Gleichung lautet für $a ≥ 0$:
f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (u) =
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
\hspace{0.05cm}.
Die Grafik zeigt die Rice–WDF für $|z_0|^2 = 0, 2, 4, 10$ und $20$. Für alle Kurven gilt $\sigma = 1 ⇒ \sigma^2 = 1$. In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die AKF des komplexen Faktors $z(t)$,
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm},$$
sowie das dazugehörige Leistungsdichtespektrum
- $${\it \Phi}_z (f_{\rm D}) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.4 dieses Buches sowie auf Kapitel 4.4 und Kapitel 4.5 im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
Fragebogen
Musterlösung
