Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading

Man spricht dann von Rice–Fading, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor $z(t)$ neben der rein stochastischen Komponente $x(t) + j \cdot y(t)$ zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form $x_0 + j \cdot y_0$ aufweist. Die Gleichungen des Rice–Fadings lassen sich in aller Kürze wie folgt zusammenfassen:

$$r(t) = z(t) \cdot s(t) ,$$

$$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) ,$$

$$x(t) = u(t) + x_0 ,$$

$$y(t) = v(t) + y_0 .$$

Dabei gilt:

Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante $z_0 = x_0 + j \cdot y_0$ beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist

$$|z_0| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\hspace{0.05cm}.$$

$u(t)$ und $\upsilon(t)$ sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz $\sigma^2$ und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu–, Brechungs– und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
Der Betrag $a(t) = |z(t)|$ besitzt eine Rice–WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF–Gleichung lautet für $a ≥ 0$:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Rice–WDF für $|z_0|^2 = 0, 2, 4, 10$ und $20$. Für alle Kurven gilt $\sigma = 1 ⇒ \sigma^2 = 1$. In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die AKF des komplexen Faktors $z(t)$,

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm},$$

sowie das dazugehörige Leistungsdichtespektrum

$${\it \Phi}_z (f_{\rm D}) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.4 dieses Buches sowie auf Kapitel 4.4 und Kapitel 4.5 im Buch „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

Musterlösung

1. Das Rayleigh–Fading ergibt sich aus dem Rice–Fading mit $|z_0|^2$ $= 0$.

2. Es ist offensichtlich, dass

$f_x(x)$ von $x_0$ abhängt,
$f_y(y)$ von $y_0$ abhängt,
$f_{\rm \phi}(\phi)$ vom Verhältnis $y_0/x_0$ abhängt.

Die angegebene Gleichung für die WDF $f_a(a)$ zeigt, dass der Betrag $a$ nur von $|z_0|$ abhängt.

Für die AKF gilt mit $z(t) = x(t) + j \cdot y(t)$:

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] =\\ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E}\left [ \left ( x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \right )\cdot (x(t + {\rm \Delta}t) - {\rm j} \cdot (y(t+ {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.$$

3.

4.

5.

	WDF $f_x(x)$ des Realteils,
	WDF $f_y(y)$ des Imaginärteils,
	WDF $f_a(a)$ des Betrags,
	WDF $f_{\rm \phi}(\phi)$ der Phase,
	AKF $\varphi_z(\Delta t)$ der komplexen Größe $z(t)$,
	LDS $\Phi_z(f_D)$ der komplexen Größe $z(t)$.

	Die „blaue” AKF liegt um 4 über der „schwarzen”.
	Die „blaue” AKF liegt um 2 unterhalb der „schwarzen”.
	Die „grüne” AKF ist um den Faktor 2.5 breiter als die „blaue”.

	Das „schwarze” LDS ist rein kontinuierlich (kein Dirac).
	Das „blaue” und „grüne” LDS beinhalten jeweils einen Dirac.
	Der „grüne” Dirac hat ein größeres Gewicht als der „blaue”.