Aufgabe 3.2: Augendiagramm nach Gaußtiefpass

Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_B = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:

Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{f}^2/({2f_{\rm G}})^2} \hspace{0.05cm}.$$

Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$ ist in der Grafik dargestellt (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben.
Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
Als eine obere Schranke für $p_S$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2}= g_d(t=0) - |g_d(t=T)|- |g_d(t=-T)|-\hspace{0.15cm} ...$$

Hierbei bezeichnet $\ddot{o}(T_D)$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sei optimal gewählt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2. Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der O–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

$T$ =

${\rm ns}$

$\sigma_d$ =

${\rm V}$

$g_0$ =

${\rm V}$

$g_1$ =

${\rm V}$

$g_2$ =

${\rm V}$

$\ddot{o}(T_D)$ =

${\rm V}$

$p_U$ =

$\cdot 10^{\rm -3}$

$p_S$ =

$\cdot 10^{\rm -4}$

	Falsch
	Richtig

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5) (6)