Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl
In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
- Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
- Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_B = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
- Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.
- Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 30 \, {\rm MHz}$:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_D = 0$.
Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$. Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$ und der letzte Term die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$. Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
- alle Detektionsgrundimpulswerte $... \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, ...$ positiv sind,
- die Summe $... \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,...$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,
- der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$ berechnet werden kann:
- $$g_0 = s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$. Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ (für $M = 2$) bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ (für $M = 4$). In der Aufgabe g) sollen diese numerisch ermittelt werden.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 3.4. Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
- $${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
- $${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$
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