Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass
Wie in Aufgabe A3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_G(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_G$ soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$
maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_U$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.
In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
- $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter:
- $$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- $\ddot{o}(T_D)$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_D = 0$ angenommen.
- Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzung im Auge ohne Rauschen) sowie durch den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
- $$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
- Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung
Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge $„ \ ... \, \ –1 \ –1, +1, –1, \ –1, \ ... \” $. Die lange „$–1$”–Folge würde zum Wert $–s_0$ führen. Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $–s_0 + 2 \cdot g_d(t)$. Zum Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit der erste und der dritte Lösungsvorschlag.
(2) Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] - s_0 = $$
- $$ \ = \ s_0 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für
- $${\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675$$
- $$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = \frac{s_0^2 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$
Mit der Angabe $„E_B/N_0 = 10 \ \rm dB ”$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
(4)
(5)
