Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass

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Optimale Gauß–Grenzfrequenz

Wie in Aufgabe A3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_G(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_G$ soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis

$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$

maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_U$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.

In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:

• $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$

• $\ddot{o}(T_D)$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_D = 0$ angenommen.
• Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzung im Auge ohne Rauschen) sowie durch den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:

$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
• Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind für das Augendiagramm zutreffend?

	Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.
	Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_D)/2 = s_0 \ – \ g_0$.
	Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_D)/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$

2

Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge?

$f_{\rm G, \ min} \cdot T$ =

3

Berechnen Sie das ungünstigste SNR für $10 \cdot {\rm lg} \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?

$f_G \cdot T = 0.6: \ 10 \cdot \rm lg \ \rho_U$ = $\rm dB$

$f_G \cdot T = 0.8: \ 10 \cdot \rm lg \ \rho_U$ = $\rm dB$

$f_G \cdot T = 1.0: \ 10 \cdot \rm lg \ \rho_U$ = $\rm dB$

4

Welche Aussagen bezüglich der optimalen Grenzfrequenz sind zutreffend?

	Die Optimierung hinsichtlich $\rho_U$ (bzw. $\rho_U$) ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
	Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_B/N_0$.
	Die Optimierung hinsichtlich $p_S$ führt zum exakt gleichen Ergebnis.

5

Berechnen Sie für die optimale Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ folgende Größen, wobei wieder $10 \cdot {\rm lg} \ (E_B/N_0) = 10 \ \rm dB$ gelten soll.

$\ddot{o}(T_D)/s_0$ =

$\sigma_d/s_0$ =

$10 \cdot \rm lg \ \rho_U$ = $\rm dB$

$p_U$ = $\cdot 10^{\rm –5}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst. Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm auf der Angabenseite entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweima erfasst.

Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge $„ \ ... \, \ –1 \ –1, +1, –1, \ – 1, \ ... \ ” $. Die lange „$–1$”–Folge würde zum Wert $–s_0$ führen. Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $–s_0 + 2 \cdot g_d(t)$. Zum Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit der erste und der dritte Lösungsvorschlag.

(2)  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] - s_0 = $$

$$ \ = \ s_0 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für

$${\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich

$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = \frac{s_0^2 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$

Mit der Angabe $„E_B/N_0 = 10 \ \rm dB ”$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$

$\rho_U$ in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz

Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:

• $f_G \cdot T = 0.8: \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_U \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$

(4) 

(5)