Aufgabe 3.2: Augendiagramm nach Gaußtiefpass

Sende– und Detektionsgrundimpuls

Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_{\rm B} = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:

Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{f}^2/({2f_{\rm G}})^2} \hspace{0.05cm}.$$

Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$ ist in der Grafik dargestellt (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben.
Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
Als eine obere Schranke für $p_{\rm S}$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2}= g_d(t=0) - |g_d(t=T)|- |g_d(t=-T)|-\hspace{0.01cm}\text{ ...}$$

Hierbei bezeichnet $\ddot{o}(T_{\rm D})$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ sei optimal gewählt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$T \ = \ $

$\ {\rm ns}$

$\sigma_d\ = \ $

$\ {\rm V}$

$g_0\ = \ $

$\ {\rm V}$

$g_1\ = \ $

$\ {\rm V}$

$g_2\ = \ $

$\ {\rm V}$

$\ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $

$\ {\rm V}$

$p_{\rm U}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -3}$

$p_{\rm S}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -3}$

$s_0\ = \ $

$\ {\rm V}$

Musterlösung

(1) Die Symboldauer ist der Kehrwert der Bitrate:

$$T = \frac{1}{10^8\,{\rm bit/s}} = 10^{-8}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline { = 10\,{\rm ns}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Die Integration entsprechend der angegebenen Gleichung führt auf:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}= \frac{10^{-9}\,{\rm V/Hz} \cdot 5 \cdot 10^{7}\,{\rm Hz} }{\sqrt{2}}\approx 0.035\,{\rm V^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d \hspace{0.15cm}\underline { = 0.188\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Diese Werte können aus der Grafik entnommen werden:

$$g_0 = g_d(0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.790\,{\rm V}}, \hspace{0.2cm}g_1 = g_d(10\,{\rm ns}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.105\,{\rm V}}= g_{-1}, \hspace{0.2cm}g_2 = g_{-2} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit den unter c) berechneten Grundimpulswerten erhält man für die vertikale Augenöffnung:

$$\ddot{o}(T_{\rm D}) = 2 \cdot (g_0 - g_1 - g_{-1}) = 2 \cdot (0.790\,{\rm V} - 2\cdot 0.105\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.16\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Zusammen mit dem Rauscheffektivwert erhält man somit für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{1.16\,{\rm V}/2}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx {\rm Q}(3.08)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nachfolgende Grafik zeigt das Augendiagramm ohne Rauschen. Man erkennt hieraus die vertikale Augenöffnung in Symbolmitte: $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 2 \cdot 0.58 \cdot s_0$

Augendiagramm mit und ohne Rauschen

(5) Aus obigem Augendiagramm erkennt man, dass das Nutzsignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ sechs verschiedene Werte annehmen kann. In der oberen Augenhälfte sind dies:

$$1.)\hspace{0.2cm} g_0 + g_1 + g_{-1} = 0.790\,{\rm V} + 2\cdot 0.105\,{\rm V}= 1\,{\rm V} = s_0$$

$$\hspace{0.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm 1} = {\rm Q} \left( \frac{1\,{\rm V}}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx 5 \cdot 10^{-8} \hspace{0.05cm},$$

$$2.)\hspace{0.2cm} g_0 = 0.790\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm 2} = {\rm Q} \left( \frac{0.790\,{\rm V}}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx 1.3 \cdot 10^{-5} \hspace{0.05cm},$$

$$3.)\hspace{0.2cm} g_0 - g_1 - g_{-1} = 0.580\,{\rm V} = \ddot{o}(T_{\rm D})/2\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm 3} = p_{\rm U} \approx 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Mittelung über diese Werte mit geeigneter Gewichtung ($p_2$ tritt doppelt so oft wie $p_1$ und $p_3$ auf) erhält man:

$$p_{\rm S} \ = \ {1}/{4} \cdot (p_{\rm 1} + 2 \cdot p_{\rm 2} + p_{\rm 3}) = $$

$$ \ = \ {1}/{4} \cdot (5 \cdot 10^{-8} + 2 \cdot 1.3 \cdot 10^{-5} + 10^{-3}) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 2.56 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

Da $p_1$ und $p_2$ sehr viel kleiner als $p_3 = p_{\rm U}$ sind, ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (nahezu) um den Faktor 4 kleiner als $p_{\rm U}$.

(6) Um eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen, muss $s_0$ auf jeden Fall vergrößert werden. Damit ist die Näherung $p_{\rm S} ≈ p_{\rm U}/4$ noch genauer:

$$p_{\rm S} \le 10^{-10}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{0.58 \cdot s_0}{ 0.188\,{\rm V}} \right)\le 4 \cdot 10^{-10}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{0.58 \cdot s_0}{ 0.188\,{\rm V}} \ge 6.15 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_0 \ge 1.993\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$