Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading

Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der Aufgabe A1.2 aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ und den Mittelwert $m_{\rm S}$ des Lognormal–Fadings zusammen (der Index S steht für Shadowing):

$$V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Der gesamte Pfadverlust ist dann durch die Gleichung

$$V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$

gegeben, wobei $V_2(t)$ eine Lognormal–Verteilung mit Mittelwert 0 beschreibt:

$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet. Multipliziert man das Sendesignal $s(t)$ zunächst mit einem konstanten Faktor $k_1$ und weiter mit einer stochastischen Größe $z_2(t)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal $r(t)$, dessen Leistung $P_{\rm E}(t)$ aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist. Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße $z_2$ lautet für $z_2 ≥ 0$:

$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Für $z_2 ≤ 0$ ist diese WDF identisch 0.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung.
Verwenden Sie folgende Kenngrößen:

$$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $z$ einen größeren Wert besitzt als ihre Streuung $\sigma$, ist bekanntlich

$${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin gilt:

$${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$$

Nochmals zur Verdeutlichung: $z_2$ ist die lineare Fading–Größe, während die Beschreibungsgröße $V_2$ auf dem Zehner–Logarithmus basiert. Es gelten folgende Umrechnungen:

$$z_2 = 10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

{Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße $z_2$? |type="[]"} - Es sind alle Werte zwischen –∞ und +∞ möglich. + Die Zufallsgröße $z_2$ ist nicht negativ. - Der kleinstmögliche Wert ist $z_2 = 0.5$. - Der größtmögliche Wert ist $z_2 = 2$.

{Berechnen Sie die WDF $f_{\rm z2}(z_2)$ für einige Abszissenwerte. |type="{}"} $f_{\rm z2}(z_2 = 0)$ = { 0 3% } $f_{\rm z2}(z_2 = 1)$ = { 0.578 3% } $f_{\rm z2}(z_2 = 2)$ = { 0.174 3% }

{Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten. |type="{}"} ${\rm Pr}(z_2 > 1)$ = { 0.5 3% } ${\rm Pr}(z_2 > 0.5)$ = { 0.842 3% } ${\rm Pr}(z_2 > 4)$ = { 0.023 3% }

{Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße $z_2$? |type="[]"} - Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung ${\rm E}[P_{\rm E}(t)]$? Hinweis: $P_{\rm E'}$ ist die Leistung nach der Multiplikation mi $k_1$ siehe Grafik. - Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E'}.$ - Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E'}.$ + Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E'}.$ </quiz>

Musterlösung

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