Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung
Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme, jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:
- NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
- Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
- AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
- Empfangsfilter, bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer und einem Gaußtiefpass mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
- Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.
Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:
System A verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal. Von diesem System sind folgende Beschreibungsgrößen bekannt:
- Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$, $g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$, $g_2 = g_{\rm –2} = \, ... \, \approx 0$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = g_{0} -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
- Rauscheffektivwert $\sigma_d \approx = 0.2 \, {\rm V}$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
System B verwendet AMI–Codierung. Hier treten die äußeren Symbole $„+1”$ bzw, $„–1”$ nur isoliert auf. Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter Anderem die zwei Folgen $„ \, ... \, , \, +1, \, +1, \, +1, \, ... \,”$ und $„ \, ... \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, ... \ ”$ nicht möglich im Gegensatz zu $„ \, ... \, , \, +1, \, –1, \, +1, \, ... \,”$
System C verwendet Duobinärcode. Hier wird die alternierende Folge $„ \, ... \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, ... \,”$ durch den Code ausgeschlossen, was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
- $${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
- $${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$
Hinweise:
- Diese Aufgabe bezieht sich auf das KapitelImpulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung.
- Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.
Fragebogen
Musterlösung
Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen. Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI–Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
- $$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}-1, +1, -1{\rm )} \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
- $$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$
Für die halbe Augenöffnung gilt somit:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} - d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot g_0 - {3}/{2} \cdot g_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$
(2) Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den Systemen A, B und C, da stets die gleiche Symbolrate vorliegt. Daraus folgt für den AMI–Code:
- $$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 5.06 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast $8 \, {\rm dB}$. Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist, dass beim AMI–Code trotz $37 %$ Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge $" \, ... \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, ... \,"$ nicht ausgeschlossen wird.
(3) Die Schwelle $E_2$ muss in der Mitte zwischen $d_{\rm oben}$ und $d_{\rm unten}$ liegen:
- $$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Der Schwellenwert $E_1$ liegt symmetrisch dazu: $E_1 \, \underline {= \, –0.67 {\rm V}}$.
(4) Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus. Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist $" \, ... \, , \, 0, \, +1, \, 0, \, ... \, "$, während die untere Begrenzungslinie durch $" \, ... \, , \, 0, \, 0, \, +1, \, ... \, "$ bzw. $" \, ... \, , \, +1, \, 0, \, 0, \, ... \, "$ bestimmt wird. Daraus folgt:
- $$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} - {g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.67\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit dem Ergebnis aus 4) erhält man analog zur Teilaufgabe 2)
- $$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 11.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.5\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
- $$E_2= {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1 ) = 0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Anzumerken ist, dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ausgegangen wurde. Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein, dass der Duobinärcode dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist.
