Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen
Für die in der Aufgabe A3.11 behandelte Maximum–Likelihood–Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ sollen die Fehlergrößen $\epsilon_{\rm \nu}(i)$ und die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.
Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm –1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\epsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:
- $$\varepsilon_{0}(+1) \ = \ [-0.4- 0.4]^2=0.64 \hspace{0.05cm},$$
- $$\varepsilon_{0}(-1) \ = \ [-0.4+ 0.4]^2=0.00 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 = \ –1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:
- $$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ [-0.8- 0.6 -0.4]^2=3.24 \hspace{0.05cm},$$
- $$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ [-0.8- 0.6 +0.4]^2=1.00 \hspace{0.05cm},$$
- $$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ [-0.8+ 0.6 -0.4]^2=0.36 \hspace{0.05cm},$$
- $$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ [-0.8+ 0.6 +0.4]^2=0.04 \hspace{0.05cm}.$$
Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind
- $$d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Decision Feedback Equalization mit Laufzeitfilter.
- Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.
- Die hier angesprochene Thematik wird auch im folgenden Interaktionsmodul behandelt: Eigenschaften des Viterbi–Empfängers.
