Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood

Kanalübergangswahrscheinlichkeiten

Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten $m_0 = 0$ und $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte $s_0$ bzw. $s_1$ dargestellt werden:

$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$

$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$

Die Auftrittswahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$

Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich

$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$

Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.

Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:

der Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s = s_i)$ nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:

$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) ]\hspace{0.05cm},$$

der Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei seinem Entscheidungsprozess auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:

$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) ]\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Optimale Empfängerstrategien sowie das Kapitel Struktur des optimalen Empfängers des vorliegenden Buches.
Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

	Falsch
	Richtig