Aufgabe 4.07: Nochmals Entscheidungsgrenzen
Wir betrachten ein Übertragungssystem mit
- nur einer Basisfunktino ($N = 1$),
- zwei Signalen $s_0 = E_s^{\rm 1/2}$ und $s_1 = \, –E_s^{\rm 1/2} (M = 2)$,
- einem AWGN–Kanal mit Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$.
Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$ behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen $p_{\it r|m_i}(\rho |m_i)$ zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_i)$ multipliziert weden (für $i$ sind hier die Werte $0$ und $1$ einzusetzen).
Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen $I_0$ und $I_1$ bei $G = 0$, also in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$:
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei gibt $d$ den Abstand zwischen den Signalpunkten $s_0$ und $s_1$ an und $d/2$ dementsprechend den jeweiligen Abstand von $s_0$ bzw. $s_1$ von der Entscheidungsgrenze $G = 0$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n$.
Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich ⇒ ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze $G$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right ) + {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$
wobei die Hilfsgröße $\gamma$ wie folgt definiert ist:
- $$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot E_{\rm S}^{1/2}\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
- Die Werte der Q–Funktion können Sie mit folgendem Interaktionsmodul ermitteln: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
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