Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen

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Signalraumkonstellationen mit M = 3

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum ($N = 2$) mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$.

Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

• Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
• Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich
• Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.

Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i ≠ k$).

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
• Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

2

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

3

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

4

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?

	ja,
	nein.

5

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

	$\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
	$\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
	$\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.

Musterlösung

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